Cebirsel İfadeler, Doğrusal Denklemler ve Çarpanlara Ayırma
1. Cebirsel İfadeler ve Çarpma İşlemi
Cebirsel ifadeler, bilinmeyenleri içeren matematiksel cümlelerdir. Bu bilinmeyenler genellikle harflerle (\(x, y, k\) gibi) temsil edilir.
- Terim: İşaretleriyle birlikte bir cebirsel ifadedeki çarpım durumunda bulunan sayılara ve değişkenlere terim denir. Örnek: \(3x^2\), \(-5y\), \(7\).
- Katsayı: Terimlerdeki değişkenlerin önündeki sayılardır. Örnek: \(3x^2\) teriminde \(3\) katsayıdır.
- Sabit Terim: Değişken içermeyen terimlerdir. Örnek: \(5x + 7\) ifadesinde \(7\) sabit terimdir.
Cebirsel ifadelerde çarpma işlemi, dağılma özelliğinden yararlanılarak yapılır.
Örnek: \(2(x + 3) = 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x + 6\)
Örnek: \((x+1)(x+2) = x(x+2) + 1(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\)
2. Doğrusal Denklemler ve Grafik
İki değişkenli denklemler, genellikle \(ax + by = c\) şeklinde yazılır. Bu tür denklemlerin grafiği doğrudur.
- Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafiğini çizmek için denklemi sağlayan en az iki nokta bulunur. Bu noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve birleştirilir.
- Denklemin grafiği üzerindeki her nokta, denklemin bir çözümüdür.
💡 Önemli Not: \(y = mx + n\) şeklindeki denklemlerde \(m\) eğimi, \(n\) ise \(y\) eksenini kestiği noktayı ifade eder.
3. Çarpanlara Ayırma
Bir cebirsel ifadeyi, çarpımları o ifadeyi veren daha basit cebirsel ifadelere ayırma işlemidir.
- Ortak Çarpan Parantezine Alma: Terimlerdeki ortak çarpanlar parantez dışına alınır. Örnek: \(4x + 8y = 4(x + 2y)\)
- Gruplandırma Yöntemi: Terimler ikişerli gruplandırılarak ortak çarpan parantezine alma uygulanır.
- İki Kare Farkı: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
- Tam Kare Özdeşlikler: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ve \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
4. Denklem Çözümü
Bir denklemde bilinmeyenin değerini bulma işlemidir. Denklem çözülürken eşitliğin her iki tarafına aynı işlem uygulanır.
- Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
- Eşitliğin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı sayıya çarpılabilir veya bölünebilir.
Örnek: \(3x - 5 = 10\) denklemini çözelim.
\(3x - 5 + 5 = 10 + 5\)
\(3x = 15\)
\(\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\)
\(x = 5\)
5. Koordinat Sistemi ve Eğim
Koordinat sistemi, noktaları konumlarıyla belirlemeye yarayan iki dik sayı doğrusundan oluşur. Yatay eksene apsis (x ekseni), dikey eksene ordinat (y ekseni) denir.
- Bir noktanın koordinatları \((x, y)\) şeklinde gösterilir.
- Eğim: Bir doğrunun yatay eksene göre olan eğikliğini gösterir. \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
- Eğim pozitifse, doğru sağa yatıktır. Eğim negatifse, doğru sola yatıktır. Eğim sıfırsa, doğru yataydır. Eğim tanımsızsa, doğru dikeydir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1: \(5(2a - 3b) - 2(a + 4b)\) cebirsel ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
\(5(2a - 3b) - 2(a + 4b) = (5 \cdot 2a) + (5 \cdot -3b) + (-2 \cdot a) + (-2 \cdot 4b)\) \(= 10a - 15b - 2a - 8b\) Terimleri birleştirelim: \((10a - 2a) + (-15b - 8b)\) \(= 8a - 23b\) Cevap: \(8a - 23b\)
Soru 2: \(y = 2x + 4\) doğrusunun eğimi kaçtır ve \(y\) eksenini hangi noktada keser?
Çözüm:
Doğrusal denklem \(y = mx + n\) formundadır. Bu formda \(m\) eğimi, \(n\) ise \(y\) eksenini kestiği noktayı verir. Verilen denklem \(y = 2x + 4\) olduğundan: \(m = 2\) (Eğim) \(n = 4\) (\(y\) eksenini kestiği nokta) Cevap: Eğim \(2\) 'dir ve \(y\) eksenini \((0, 4)\) noktasında keser.
Bir kenar uzunluğu \( (2x + 3) \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin alanı kaç birimkaredir?
B) \( 4x^2 + 12x + 9 \)
C) \( 2x^2 + 6x + 9 \)
D) \( 4x^2 + 9 \)
Aşağıdaki çarpma işleminin sonucu kaçtır?
\[ (3y - 2)(y + 5) \]
B) \( 3y^2 - 10 \)
C) \( 3y^2 + 17y - 10 \)
D) \( 3y^2 + 15y - 2y - 10 \)
Yanda grafiği verilen \( y = ax + b \) doğrusal denklemine göre \( a \) ve \( b \) değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
\[\(\includegraphics\) [scale \(=0\).7]{graph_of_linear_equation} \]
B) \( a = 2 \) ve \( b = -4 \)
C) \( a = -1 \) ve \( b = 2 \)
D) \( a = 1 \) ve \( b = -2 \)
Aşağıdaki ifadelerden hangisi \( x^2 - 6x + 9 \) ifadesinin çarpanlarından biridir?
A) \( x-2 \)B) \( x-3 \)
C) \( x+2 \)
D) \( x+3 \)
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[ 3(x - 2) \(+ 5 = 2\) x + 7 \]
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
Koordinat düzleminde \( A(-2, 5) \) ve \( B(4, -3) \) noktalarının belirlediği doğrunun eğimi kaçtır?
A) [TEXT] \( -\frac{3}{4} \)B) [TEXT] \( -\frac{4}{3} \)
C) [TEXT] \( \frac{3}{4} \)
D) [TEXT] \( \frac{4}{3} \)
Orijinden geçen ve eğimi \( -\frac{1}{2} \) olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [TEXT] \( y = \frac{1}{2}x \)B) [TEXT] \( y = -\frac{1}{2}x \)
C) [TEXT] \( y = 2x \)
D) [TEXT] \( y = -2x \)
Aşağıdaki çarpma işleminin sonucu kaçtır?
\[ (2x - 3)(x + 4) \]
B) \( 2x^2 - 5x - 12 \)
C) \( 2x^2 + 11x - 12 \)
D) \( 2x^2 - 11x - 12 \)
Alanı \( x^2 + 7x + 12 \) birim kare olan dikdörtgenin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) \( (x+2) \) ve \( (x+6) \)
C) \( (x+3) \) ve \( (x+4) \)
D) \( (x+5) \) ve \( (x+7) \)
Koordinat düzleminde verilen \( y = 2x + 4 \) doğrusal denkleminin grafiği ile eksenlerin kesim noktaları aşağıdakilerden hangisidir?
A) [(-2, 0) ve (0, 4)]B) [(2, 0) ve (0, -4)]
C) [(-4, 0) ve (0, 2)]
D) [(0, -2) ve (4, 0)]
Verilen \( (x-2)^2 - y^2 \) cebirsel ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( (x-2-y)(x-2+y) \)
C) \( (x-y)(x+y) \)
D) \( (x+2-y)(x+2+y) \)
Bir sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 2 katının 7 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?
\[ 3x \(- 5 = 2\) x + 7 \]
B) \( 11 \)
C) \( 12 \)
D) \( 13 \)
Analitik düzlemde A(\( -2, 5 \)) ve B(\( 4, -3 \)) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A) \( -\frac{4}{3} \)B) \( \frac{3}{4} \)
C) \( -\frac{3}{4} \)
D) \( \frac{4}{3} \)
Koordinat düzleminde \( y = 3x - 7 \) doğrusunun eğimi ile \( y = -2x + 5 \) doğrusunun eğiminin toplamı kaçtır?
A) \( 1 \)B) \( 2 \)
C) \( -1 \)
D) \( 0 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4476-8-sinif-lgs-cebirsel-ifadeler-ve-carpma-dogrusal-denklemler-ve-grafik-carpanlara-ayirma-denklem-cozumu-koordinat-sistemi-ve-egim-test-coz-9dse