9. Sınıf Matematik - Eş ve Benzer Üçgenler, Yansıtma, Öklid ve Pisagor, Eşitlik ve Benzerlik
📌 Eş Üçgenler
İki üçgenin eş olması için karşılıklı kenar uzunluklarının ve karşılıklı açı ölçülerinin tamamı eşit olmalıdır. Eş üçgenler, birbirine üst üste konulduğunda tam olarak çakışırlar.
✅ Eşlik Kuralları
- Kenar-Açı-Kenar (KAK): İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenaraların arasındaki açının ölçüsü eşitse bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA): İki üçgenin ikişer açısının ölçüsü ve bu açıların arasındaki kenarın uzunluğu eşitse bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK): İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşitse bu üçgenler eştir.
💡 Benzer Üçgenler
İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açı ölçülerinin tamamı eşit olmalı ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır. Benzer üçgenler, şekil olarak aynı ancak boyut olarak farklı olabilirler.
✅ Benzerlik Durumları
- Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin ikişer açısının ölçüsü eşitse bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü eşitse bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılıysa bu üçgenler benzerdir.
Benzerlik oranı \(k\) ise, alanlar oranı \(k^2\) olur.
🚀 Yansıtma (Simetri)
Bir şeklin bir doğruya (yansıma ekseni) göre simetriği, o doğuya uzaklıkları eşit olan noktalardan oluşur. Yansıma, şeklin boyutunu ve şeklini değiştirmez, sadece konumunu değiştirir. Koordinat düzleminde yansıma işlemleri belirli kurallara göre yapılır.
📐 Öklid ve Pisagor Bağıntıları
Dik üçgenlerde kullanılan özel bağıntılardır.
Pisagor Bağıntısı:
Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. \(a^2 + b^2 = c^2\) burada \(a\) ve \(b\) dik kenarlar, \(c\) hipotenüstür.
Öklid Bağıntıları:
Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik için geçerlidir.
- Yükseklik Bağıntısı: \(h^2 = p \cdot q\)
- Dik Kenar Bağıntıları: \(a^2 = p \cdot c\) ve \(b^2 = q \cdot c\)
Burada \(a\) ve \(b\) dik kenarlar, \(c\) hipotenüs, \(h\) hipotenüse ait yükseklik, \(p\) ve \(q\) ise yükseklik tarafından hipotenüs üzerinde oluşturulan parçalardır.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1 (Eş Üçgenler):
Soru: ABC ve DEF üçgenlerinde, \(|AB| = |DE|\), \(|BC| = |EF|\) ve \(\angle B = \angle E\) ise bu üçgenler hangi eşlik kuralına göre eştir?
Çözüm: Verilenlere göre ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açının ölçüsü eşittir. Bu durum Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını ifade eder. Dolayısıyla, \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (KAK).
Örnek 2 (Benzer Üçgenler ve Pisagor):
Soru: Bir dik üçgenin dik kenarları \(6\) cm ve \(8\) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu ve alanını bulunuz. Ayrıca, bu üçgen ile benzer ve hipotenüsü \(20\) cm olan başka bir dik üçgenin dik kenarlarını bulunuz.
Çözüm:
- Pisagor Bağıntısı ile Hipotenüs: \(6^2 + 8^2 = c^2 \implies 36 + 64 = c^2 \implies 100 = c^2 \implies c = 10\) cm.
- Alan: Alan \(= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) cm \(^2\).
- Benzer Üçgenin Kenarları: İlk üçgenin kenarları \(6, 8, 10\) 'dur. Hipotenüsü \(20\) cm olan benzer üçgenin kenarları, ilk üçgenin kenarlarının \(k = \frac{20}{10} = 2\) katıdır. Yeni dik kenarlar: \(6 \times 2 = 12\) cm ve \(8 \times 2 = 16\) cm'dir. (Kontrol: \(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2\)).
\( \triangle ABC \cong \triangle KLP \) olmak üzere, \( |AB| = (2x+1) \) cm, \( |KL| = 9 \) cm, \( |BC| = 12 \) cm ve \( |LP| = (y-3) \) cm'dir. Buna göre \( x+y \) toplamı kaçtır?
A) \( 17 \)B) \( 18 \)
C) \( 19 \)
D) \( 20 \)
E) \( 21 \)
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) benzer üçgenlerdir. \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) dir. \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm olduğuna göre, \( \triangle DEF \) üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
A) \( 12 \)B) \( 14 \)
C) \( 16 \)
D) \( 18 \)
E) \( 24 \)
Bir \( \triangle ABC \) üçgeninde \( D \in [AB] \) ve \( E \in [AC] \) olmak üzere \( DE // BC \) dir. \( |AD| = 3 \) cm ve \( |DB| = 5 \) cm olduğuna göre, \( \triangle ADE \) üçgeninin alanının \( \triangle ABC \) üçgeninin alanına oranı kaçtır?
A) \( \frac{3}{8} \)B) \( \frac{9}{25} \)
C) \( \frac{9}{64} \)
D) \( \frac{25}{64} \)
E) \( \frac{3}{5} \)
Koordinat düzleminde verilen \( A(4, -7) \) noktasının x eksenine göre yansıması \( A' \) noktasıdır. Buna göre \( A' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (4, 7) \)B) \( (-4, -7) \)
C) \( (-4, 7) \)
D) \( (7, 4) \)
E) \( (-7, 4) \)
Koordinat düzleminde \( B(-5, 2) \) noktasının y eksenine göre yansıması \( B' \) noktasıdır. Buna göre \( B' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-5, -2) \)B) \( (5, 2) \)
C) \( (2, -5) \)
D) \( (-2, 5) \)
E) \( (5, -2) \)
Koordinat düzleminde \( C(3, -6) \) noktasının orijine göre yansıması \( C' \) noktasıdır. Buna göre \( C' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, 6) \)B) \( (-3, -6) \)
C) \( (6, -3) \)
D) \( (-3, 6) \)
E) \( (-6, 3) \)
Dik üçgen biçimindeki bir bahçenin dik kenarlarından birinin uzunluğu \( 15 \) metre, diğer dik kenarının uzunluğu ise \( 20 \) metredir. Bu bahçenin hipotenüs uzunluğu kaç metredir?
A) \( 20 \)B) \( 22 \)
C) \( 25 \)
D) \( 28 \)
E) \( 30 \)
Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu \( h \) birimdir. Bu yükseklik, hipotenüsü \( 4 \) birim ve \( 9 \) birim uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır. Buna göre \( h \) kaç birimdir?
A) \( 4 \)B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
E) \( 8 \)
Yandaki şekilde \( ABC \) bir dik üçgen, \( [AB] \perp [AC] \) ve \( [AD] \perp [BC] \) 'dir.
\( |BD| = 2 \) cm ve \( |DC| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AB| \) kaç cm'dir?
B) \( 2\sqrt{5} \)
C) \( 2\sqrt{6} \)
D) \( 3\sqrt{5} \)
E) \( 5 \)
ABC bir üçgen, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. DE // BC olduğuna göre, aşağıdaki verilen uzunluklara göre EC kaç cm'dir?
\( |AD| = 6 \text{ cm} \), \( |DB| = 3 \text{ cm} \), \( |AE| = 4 \text{ cm} \)
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) eş üçgenlerdir. \( |AB| = (2x+1) \) cm, \( |BC| = (y-3) \) cm, \( |AC| = 8 \) cm, \( |DE| = 7 \) cm, \( |EF| = 5 \) cm ve \( |DF| = (z+2) \) cm olduğuna göre, \( x+y+z \) toplamı kaçtır?
A) \( 15 \)B) \( 16 \)
C) \( 17 \)
D) \( 18 \)
E) \( 19 \)
Şekilde \( DE \parallel BC \) dir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = x \) cm, \( |EC| = 9 \) cm olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
(Not: Şekil, \( A \) köşesinden başlayan ve \( BC \) kenarına paralel \( DE \) doğru parçasını içeren bir üçgen \( ABC \) dir. \( D \) noktası \( AB \) üzerindedir, \( E \) noktası \( AC \) üzerindedir.)
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
E) \( 8 \)
Şekilde \( AB \parallel DE \) dir. \( |AC| = 6 \) cm, \( |CE| = 9 \) cm, \( |BC| = 4 \) cm ve \( |CD| = x \) cm olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
(Not: Şekil, \( C \) noktasında kesişen \( AE \) ve \( BD \) doğru parçalarından oluşmaktadır. \( A, C, E \) noktaları doğrusaldır. \( B, C, D \) noktaları doğrusaldır.)
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
Koordinat düzleminde \( A(3, -5) \) noktasının x eksenine göre yansıması \( A'(x, y) \) noktasıdır. Buna göre \( A' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, 5) \)B) \( (-3, -5) \)
C) \( (-3, 5) \)
D) \( (5, 3) \)
E) \( (-5, 3) \)
Koordinat düzleminde \( B(-2, 4) \) noktasının y eksenine göre yansıması \( B'(x, y) \) noktasıdır. Buna göre \( B' \) noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) \( 0 \)B) \( 2 \)
C) \( 4 \)
D) \( 6 \)
E) \( 8 \)
Koordinat düzleminde \( C(1, 6) \) noktasının \( y=x \) doğrusuna göre yansıması \( C'(x, y) \) noktasıdır. Buna göre \( C' \) noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
A) \( 6 \)B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
E) \( 10 \)
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 8 \) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 10 \)B) \( 12 \)
C) \( 14 \)
D) \( 16 \)
E) \( 18 \)
Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu \( 6 \) cm'dir. Bu yükseklik, hipotenüsü \( 3 \) cm ve \( x \) cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyor. Buna göre \( x \) kaç cm'dir?
A) \( 9 \)B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 15 \)
E) \( 18 \)
ABC bir dik üçgen, \( [AB] \perp [AC] \). \( [AH] \perp [BC] \). \( |AB| = 6 \) cm ve \( |BH| = 3 \) cm olduğuna göre \( |HC| \) kaç cm'dir?
A) \( 9 \)B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 15 \)
E) \( 18 \)
ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir ( \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ).
\( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm, \( |AC| = 12 \) cm ve \( |DE| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |EF| + |DF| \) toplamı kaç cm'dir?
B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 18 \)
E) \( 21 \)
Yandaki şekilde, \( [AD] \) ve \( [BC] \) doğru parçaları E noktasında kesişmektedir.
\( |AE| = |ED| \), \( |BE| = |EC| \) ve \( |AB| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |CD| \) kaç cm'dir?
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
Bir ABC üçgeninde, D noktası [AB] kenarı üzerinde, E noktası [AC] kenarı üzerindedir.
\( [DE] \parallel [BC] \), \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |AE| = 6 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) kaç cm'dir?
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
Aşağıda adımları verilen bir algoritma bulunmaktadır:
1. sayi değişkenini \( 1 \) olarak başlat.
2. toplam değişkenini \( 0 \) olarak başlat.
3. sayi değişkeni \( 5 \) veya daha küçük olduğu sürece aşağıdaki adımları tekrarla:
a. toplam değişkenine toplam + sayi değerini ata.
b. sayi değişkenine sayi + 1 değerini ata.
4. toplam değerini ekrana yaz.
Bu algoritma çalıştırıldığında ekrana yazılacak değer kaçtır?
B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 18 \)
E) \( 20 \)
Aşağıda adımları verilen bir algoritma bulunmaktadır:
1. x değişkenini \( 10 \) olarak başlat.
2. y değişkenini \( 3 \) olarak başlat.
3. Eğer x > y ise:
a. x değişkenine x - y değerini ata.
b. y değişkenine y + 1 değerini ata.
4. Değilse (yani x \(\le\) y ise):
a. x değişkenine x + y değerini ata.
b. y değişkenine y - 1 değerini ata.
5. x + y değerini ekrana yaz.
Bu algoritma çalıştırıldığında ekrana yazılacak değer kaçtır?
B) \( 11 \)
C) \( 12 \)
D) \( 13 \)
E) \( 14 \)
Aşağıda adımları verilen bir algoritma bulunmaktadır:
1. liste adında bir dizi oluştur ve içine [3, 7, 1, 9, 4] değerlerini yerleştir.
2. en_buyuk değişkenini listenin ilk elemanı olarak başlat.
3. listedeki her eleman için (ilk elemandan sonraki elemanlar için) aşağıdaki adımları tekrarla:
a. Eğer mevcut eleman en_buyuk değişkeninden büyükse:
i. en_buyuk değişkenine mevcut elemanın değerini ata.
4. en_buyuk değerini ekrana yaz.
Bu algoritma çalıştırıldığında ekrana yazılacak değer kaçtır?
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 7 \)
E) \( 9 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4556-9-sinif-es-ve-benzer-ucgenler-sorulari-test-coz-wd04