Karesel Fonksiyon Grafiklerinin İncelenmesi
Karesel Fonksiyon Nedir?
Karesel fonksiyonlar, genel olarak \(f(x) = ax^2 + bx + c\) biçiminde ifade edilen ikinci dereceden polinom fonksiyonlardır. Burada \(a\), \(b\), ve \(c\) reel sayılar olup, \(a \ eq 0\) olmalıdır. Aksi takdirde fonksiyon karesel özelliklerini kaybeder.
Karesel Fonksiyon Grafiklerinin Şekli: Parabol
Karesel fonksiyonların grafikleri parabol olarak adlandırılır. Parabolün şekli ve yönü, \(a\), \(b\), ve \(c\) katsayılarına bağlı olarak değişiklik gösterir.
\(a\) Katsayısının Etkisi
- Eğer \(a > 0\) ise, parabol yukarı doğru açılır (bir U şekli gibi). 🚀
- Eğer \(a < 0\) ise, parabol aşağı doğru açılır (ters bir U şekli gibi). 🚀
\(c\) Katsayısının Etkisi
\(c\) katsayısı, parabolün y eksenini kestiği noktayı belirtir. Fonksiyonun \(x=0\) iken aldığı değer \(f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c\) 'dir. Dolayısıyla grafik, \((0, c)\) noktasından geçer. 📌
\(b\) Katsayısının Etkisi ve Tepe Noktası
\(b\) katsayısı, parabolün simetri eksenini ve dolayısıyla tepe noktasının yerini etkiler. Parabolün simetri ekseni \(x = -\frac{b}{2a}\) doğrusudur. 💡
Parabolün tepe noktası \((h, k)\) koordinatlarında bulunur. Buradaki \(h\) değeri simetri eksenidir, yani \(h = -\frac{b}{2a}\) 'dır. \(k\) değeri ise tepe noktasının \(y\) koordinatıdır ve \(k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})\) ile bulunur.
Parabolün Kökleri (x-Ekseni Kestiği Noktalar)
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar, \(f(x)=0\) denkleminin kökleridir. Bu kökler, diskriminant (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) kullanılarak bulunur:
- Eğer \( \Delta > 0 \) ise, iki farklı reel kök vardır (parabol x-eksenini iki farklı noktada keser).
- Eğer \( \Delta = 0 \) ise, bir reel kök vardır (parabol x-eksenine teğettir).
- Eğer \( \Delta < 0 \) ise, reel kök yoktur (parabol x-eksenini kesmez).
Grafik Çizim Adımları
- \(a\) katsayısının işaretine göre parabolün yönünü belirleyin.
- \(c\) değerini bularak y-eksenini kestiği noktayı işaretleyin.
- Tepe noktasının koordinatlarını \(h = -\frac{b}{2a}\) ve \(k = f(h)\) ile hesaplayın.
- Diskriminantı hesaplayarak x-eksenini kesip kesmediğini ve kaç noktada kestiğini belirleyin. Gerekirse kökleri bulun.
- Simetri eksenini çizerek grafiğin simetrisini göz önünde bulundurun.
- Birkaç ek nokta bularak (örneğin, \(x=1\) veya \(x=-1\) için \(y\) değerleri) parabolü daha doğru çizin. ✅
Önemli Not: Karesel fonksiyonların grafikleri daima simetriktir. Simetri ekseni, tepe noktasından geçen dikey bir doğrudur.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1:
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\) karesel fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm 1:
Fonksiyonumuz \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Burada \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\).
- Yön: \(a=1 > 0\) olduğu için parabol yukarı doğru açılır.
- y-eksenini kesme: \(c=3\). Grafik \((0, 3)\) noktasından geçer.
- Tepe Noktası:
- \(h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2\)
- \(k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Tepe noktası \((2, -1)\) 'dir.
- x-eksenini kesme (Kökler): \( \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \). \( \Delta > 0 \) olduğundan iki kök vardır.
- \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2}\)
- \(x_1 = \frac{4+2}{2} = 3\)
- \(x_2 = \frac{4-2}{2} = 1\). Grafik \((1, 0)\) ve \((3, 0)\) noktalarından geçer.
- Simetri Ekseni: \(x = 2\).
Bu bilgilerle parabol çizilebilir.
Soru 2:
\(g(x) = -2x^2 + 8x - 6\) karesel fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası \((2, 2)\) 'dir.
B) Parabol yukarı doğru açılır ve tepe noktası \((-2, -2)\) 'dir.
C) Parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası \((2, 2)\) 'dir.
D) Parabol yukarı doğru açılır ve tepe noktası \((2, -2)\) 'dir.
E) Parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası \((-2, 2)\) 'dir.
Çözüm 2:
Fonksiyonumuz \(g(x) = -2x^2 + 8x - 6\). Burada \(a=-2\), \(b=8\), \(c=-6\).
- Yön: \(a=-2 < 0\) olduğu için parabol aşağı doğru açılır.
- Tepe Noktası:
- \(h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2\)
- \(k = g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2\). Tepe noktası \((2, 2)\) 'dir.
Bu durumda, parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası \((2, 2)\) 'dir. Doğru cevap C seçeneğidir.
"}} .\( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (2, 3) \)B) \( (-2, 3) \)
C) \( (2, -3) \)
D) \( (-2, -3) \)
E) \( (4, 7) \)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \) fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Tepe noktasının apsisi \( 2 \) dir.B) Parabolün kolları aşağıya doğrudur.
C) En büyük değeri \( 3 \) tür.
D) y-eksenini \( (0, -5) \) noktasında keser.
E) x-eksenini kesmez.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( y = ax^2 + bx + c \) parabolünün grafiği yanda verilmiştir.
Parabolün kolları aşağıya doğru olup, tepe noktası y-ekseninin sağ tarafında yer almaktadır. Ayrıca parabol y-eksenini pozitif tarafta kesmektedir.
Buna göre \( a, b, c \) katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( -, -, + \)
C) \( +, +, + \)
D) \( +, -, - \)
E) \( -, +, - \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 11 \) karesel fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, 2) \)B) \( (3, -2) \)
C) \( (-3, 2) \)
D) \( (-3, -2) \)
E) \( (6, 11) \)
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \) karesel fonksiyonunun grafiği (parabolü) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Kolları yukarı doğrudur.B) y-eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.
C) Tepe noktasının apsisi \( -2 \) dir.
D) x-eksenini iki farklı noktada keser.
E) Maksimum değeri vardır.
x-eksenini \( (-2, 0) \) ve \( (4, 0) \) noktalarında kesen ve y-eksenini \( (0, 16) \) noktasında kesen karesel fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( f(x) = -2x^2 + 4x + 16 \)B) \( f(x) = 2x^2 - 4x - 16 \)
C) \( f(x) = -x^2 + 2x + 8 \)
D) \( f(x) = -2x^2 - 4x + 16 \)
E) \( f(x) = x^2 - 2x - 8 \)
Aşağıda grafiği verilen parabolün denklemi nedir?
(Grafikte tepe noktası \( (-1, 4) \) ve y eksenini kestiği nokta \( (0, 3) \) olarak gösterilmiştir.)
B) \( y = x^2 + 2x + 3 \)
C) \( y = -x^2 + 2x + 3 \)
D) \( y = -(x+1)^2 + 4 \)
E) \( y = (x+1)^2 + 4 \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, -4) \)B) \( (-3, 4) \)
C) \( (3, 4) \)
D) \( (-3, -4) \)
E) \( (6, 5) \)
\( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \) parabolünün alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) \( -1 \)B) \( 1 \)
C) \( 2 \)
D) \( 3 \)
E) \( 5 \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) karesel fonksiyonunun grafiği olan parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, 4) \)B) \( (-3, -4) \)
C) \( (3, -4) \)
D) \( (-3, 4) \)
E) \( (6, 5) \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, -4) \)B) \( (-3, 4) \)
C) \( (3, 4) \)
D) \( (-3, -4) \)
E) \( (6, 5) \)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabolünün grafiği x eksenini \( (-1, 0) \) ve \( (5, 0) \) noktalarında kesmekte, y eksenini ise \( (0, 10) \) noktasında kesmektedir. Buna göre, \( a+b+c \) değeri kaçtır?
A) \( 10 \)B) \( 12 \)
C) \( 14 \)
D) \( 16 \)
E) \( 18 \)
\( y = x^2 - (m+1)x + 9 \) parabolünün simetri ekseni \( x = 2 \) doğrusu olduğuna göre, parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) \( 5 \)B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, -4) \)B) \( (-3, 4) \)
C) \( (3, 4) \)
D) \( (-3, -4) \)
E) \( (6, 5) \)
\( f(x) = -x^2 + 4x + 12 \) parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
A) \( -4 \)B) \( -2 \)
C) \( 0 \)
D) \( 2 \)
E) \( 4 \)
\( f(x) = (m-1)x^2 + 2x - 3 \) parabolünün kolları aşağı doğru olduğuna göre, \( m \) sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) \( m > 1 \)B) \( m < 1 \)
C) \( m = 1 \)
D) \( m > 0 \)
E) \( m < 0 \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, -4) \)B) \( (3, 4) \)
C) \( (-3, -4) \)
D) \( (-3, 4) \)
E) \( (6, 5) \)
\( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
A) \( -4 \)B) \( -3 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 1 \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) \( 5 \)B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( (-3, 4) \)
C) \( (3, 4) \)
D) \( (-3, -4) \)
E) \( (6, 5) \)
\( f(x) = x^2 - 4x - 12 \) parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
B) \( -2 \)
C) \( 0 \)
D) \( 2 \)
E) \( 4 \)
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 3 \) karesel fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4557-10-sinif-karesel-fonksiyon-grafik-test-coz-5d9u