Üçgende Eşlik ve Benzerlik Koşulları ve Algoritma Temelli Problemler 🚀
I. Üçgenlerde Eşlik Koşulları ✅
İki üçgenin eş olması demek, karşılıklı kenar uzunluklarının ve karşılıklı açı ölçülerinin eşit olması demektir. Eş üçgenler, üst üste konulduğunda tamamen çakışırlar.
Temel Eşlik Koşulları:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunlukları ve bu kenetler arasındaki açı ölçüleri eşit ise bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açı ölçüleri ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunlukları da eşit ise bu üçgenler eştir.
Eşlik gösterimi şu şekildedir: \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)
II. Üçgenlerde Benzerlik Koşulları 💡
İki üçgenin benzer olması demek, karşılıklı açı ölçülerinin eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması demektir. Benzer üçgenler, aynı şekle sahip ancak farklı boyutlarda olabilirler.
Temel Benzerlik Koşulları:
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açı ölçüsü eşit ise bu üçgenler benzerdir. Bu en sık kullanılan benzerlik kuralıdır.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenetler arasındaki açı ölçüleri eşit ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunlukları da orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Benzerlik oranı \(k\) ise, kenarlar arasındaki oran \(k\) 'dır ve alanlar arasındaki oran \(k^2\) 'dir.
Benzerlik gösterimi şu şekildedir: \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
III. Algoritma Temelli Problemler 📌
Algoritma, belirli bir problemi çözmek veya belirli bir görevi yerine getirmek için adım adım izlenen yönergeler dizisidir. Matematikte bu, problem çözme süreçlerini sistematik hale getirmeyi amaçlar.
Örnek Problem Türleri:
- Sayı dizileri oluşturma ve bu dizilerdeki belirli bir terimi bulma.
- Belirli bir kurala göre şekil örüntüleri oluşturma ve devam ettirme.
- Verilen bir başlangıç değerinden başlayarak belirli işlemleri uygulayarak sonuç bulma.
- Basit mantık ve akıl yürütme gerektiren sıralı adımlı problemler.
Tablo ile Gösterim:
Algoritmik problemleri çözerken adımları ve sonuçları takip etmek için tablolar kullanılabilir.
| Adım No | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| \(1\) | Başlangıç Değeri: \(x = 5\) | \(x = 5\) |
| \(2\) | \(x = x + 3\) | \(x = 8\) |
| \(3\) | \(x = x \times 2\) | \(x = 16\) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1: Eşlik
Verilen \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(AB = DE = 5\) cm, \(BC = EF = 7\) cm ve \(AC = DF = 6\) cm ise bu iki üçgenin eşliği hakkında ne söylenebilir?
Çözüm: Üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları sırasıyla \(5\) cm, \(7\) cm ve \(6\) cm olarak verilmiştir. KKK (Kenar-Kenar-Kenar) eşlik kuralına göre, eğer iki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir. Bu nedenle, \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
Soru 2: Benzerlik (Algoritma Temelli Yaklaşım
Bir algoritma, başlangıç sayısı \(a\) 'ya sırasıyla şu işlemleri uygular: \(a \rightarrow a+2 \rightarrow (a+2) \times 3\). Eğer başlangıç sayısı \(a = 4\) ise son sonuç kaçtır?
Çözüm: Algoritmanın adımlarını takip edelim:Sonuç \(18\) 'dir.
- Başlangıç sayısı: \(a = 4\)
- İlk işlem: \(a+2 = 4+2 = 6\)
- İkinci işlem: \((a+2) \times 3 = 6 \times 3 = 18\)
Şekilde verilen \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) benzer üçgenlerdir. \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \) ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \) olduğuna göre, \( |EF| \) kaç birimdir?
\( |AB|=4 \text{ birim} \)
\( |BC|=6 \text{ birim} \)
\( |DE|=6 \text{ birim} \)
B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 12 \)
E) \( 15 \)
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinde \( |AB|=|DE|=7 \text{ cm} \), \( |AC|=|DF|=10 \text{ cm} \) ve \( m(\widehat{A})=m(\widehat{D})=70^\circ \) olarak verilmiştir. Eğer \( |BC|=2x-1 \) ve \( |EF|=13 \text{ cm} \) ise, \( x \) değeri kaçtır?
A) \( 5 \)B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
\( \triangle ABC \) üçgeninde \( DE \parallel BC \), D noktası \( [AB] \) üzerinde ve E noktası \( [AC] \) üzerindedir. Verilen uzunluklara göre \( |EC| \) kaç birimdir?
\( |AD|=5 \text{ birim} \)
\( |DB|=10 \text{ birim} \)
\( |AE|=4 \text{ birim} \)
B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
E) \( 10 \)
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle KLM \) benzer üçgenlerdir. Benzerlik oranı \( \frac{|AB|}{|KL|} = \frac{2}{3} \) olduğuna göre, \( Alan(\triangle ABC) \) nin \( Alan(\triangle KLM) \) ye oranı kaçtır?
A) \( \frac{2}{3} \)B) \( \frac{3}{2} \)
C) \( \frac{4}{9} \)
D) \( \frac{9}{4} \)
E) \( \frac{1}{1} \)
Şekildeki \( \triangle ABC \) üçgeninde D noktası \( [AB] \) üzerinde, E noktası \( [AC] \) üzerindedir. \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{C}) \) ve \( m(\widehat{A}) \) ortak açıdır. Verilen uzunluklara göre \( |EC| \) kaç birimdir?
\( |AD|=4 \text{ birim} \)
\( |DB|=5 \text{ birim} \)
\( |AE|=3 \text{ birim} \)
B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
E) \( 10 \)
Bir algoritma aşağıdaki adımları takip etmektedir:
- Bir \( x \) sayısı gir.
- \( x \) sayısını \( 3 \) ile çarp. Sonucu \( y \) olarak kaydet.
- \( y \) sayısından \( 5 \) çıkar. Sonucu \( z \) olarak kaydet.
- \( z \) sayısının mutlak değerini al. Sonucu ekrana yazdır.
B) \( 12 \)
C) \( 17 \)
D) \( 20 \)
E) \( 23 \)
Aşağıdaki algoritma, verilen bir \( A \) tam sayısı için \( K \) değerini hesaplamaktadır:
- Bir \( A \) tam sayısı gir.
- \( K = 0 \) ve \( i = 1 \) olarak başla.
- Eğer \( i \le A \) ise 4. adıma git, değilse 5. adıma git.
- \( K = K + i \) ve \( i = i + 2 \) yap. 3. adıma geri dön.
- \( K \) değerini ekrana yazdır.
B) \( 12 \)
C) \( 16 \)
D) \( 20 \)
E) \( 25 \)
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinde \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \) verilmiştir.
\( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |DE| = 9 \) cm olduğuna göre, \( |EF| \) kaç cm'dir?
B) \( 11 \)
C) \( 12 \)
D) \( 13 \)
E) \( 14 \)
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinde \( |AB| = |DE| = 5 \) cm, \( |BC| = |EF| = 7 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ \) olduğuna göre, \( |AC| \) ve \( |DF| \) kenarları arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( |AC| > |DF| \)B) \( |AC| < |DF| \)
C) \( |AC| = |DF| \)
D) \( |AC| = 2|DF| \)
E) İlişki belirlenemez.
Bir \( ABC \) üçgeninde \( DE // BC \) olacak şekilde \( D \in [AB] \) ve \( E \in [AC] \) noktaları işaretlenmiştir.
\( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 5 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) kaç cm'dir?
B) \( 7 \)
C) \( 7.5 \)
D) \( 8 \)
E) \( 8.5 \)
\( ABC \) bir üçgen, \( D \) ve \( E \) sırasıyla \( AC \) ve \( BC \) kenarları üzerindedir.
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{EDC}) \), \( |AC| = 9 \) cm, \( |CD| = 3 \) cm, \( |BC| = 12 \) cm olduğuna göre, \( |CE| \) kaç cm'dir?
B) \( 2.25 \)
C) \( 2.5 \)
D) \( 2.75 \)
E) \( 3 \)
Dik üçgen \( ABC \) de \( [AB] \perp [BC] \) ve \( [BH] \perp [AC] \). \( H \in [AC] \).
\( |AH| = 4 \) cm ve \( |HC| = 9 \) cm olduğuna göre, \( |BH| \) kaç cm'dir?
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
Bir hesap makinesi, girilen bir sayıya aşağıdaki adımları uygulayarak yeni bir sayı elde etmektedir: 1. Girilen sayı \( N \) olarak alınır. 2. Eğer \( N \) çift ise, \( N \) yerine \( N/2 \) yazılır. 3. Eğer \( N \) tek ise, \( N \) yerine \( N+3 \) yazılır. 4. Bu adımlar toplam 3 kez tekrar edilir. Başlangıç sayısı \( 10 \) olduğuna göre, 3. tekrarın sonunda elde edilen sayı kaçtır?
A) \( 2 \)B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
E) \( 10 \)
Bir sayı dizisi aşağıdaki kurallara göre oluşturulmaktadır:
1. Dizinin ilk terimi \( a_1 = 5 \) olarak belirlenir.
2. Her \( n > 1 \) için, dizinin \( n \). terimi önceki terime bağlı olarak aşağıdaki formülle hesaplanır:
\[ a_n \(= 2 \cdot\) a_{n-1} - 3 \]
Buna göre, dizinin 3. terimi \( a_3 \) kaçtır?
B) \( 9 \)
C) \( 11 \)
D) \( 13 \)
E) \( 15 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4572-9-sinif-ucgende-eslik-ve-benzerlik-kosullari-test-coz-ipnt