Parabolde Dönüşümler ve Eşitsizlikler - 11. Sınıf Kimya Çalışma Notları
Parabol Fonksiyonları ve Temel Grafik
Parabol denklemleri, genellikle \(y = ax^2 + bx + c\) şeklinde ifade edilen ikinci dereceden fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların grafikleri paraboldür. \(a\) katsayısının işareti parabolün kollarının yönünü belirler:
- Eğer \(a > 0\) ise, kollar yukarı doğru bakar.
- Eğer \(a < 0\) ise, kollar aşağı doğru bakar.
Parabolün tepe noktası, fonksiyonun minimum veya maksimum değerini aldığı noktadır. Tepe noktasının koordinatları \(T(x_t, y_t)\) olmak üzere, \(x_t = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
Parabolde Dönüşümler
Bir \(y = f(x)\) fonksiyonunun grafiği üzerinde yapılan dönüşümler, yeni fonksiyonların denklemlerini oluşturmamızı sağlar. Başlıca dönüşümler şunlardır:
1. Yatay Kaydırma
- \(y = f(x-h)\) : Grafik, \(x\) ekseninde \(h\) birim sağa kaydırılır.
- \(y = f(x+h)\) : Grafik, \(x\) ekseninde \(h\) birim sola kaydırılır.
2. Dikey Kaydırma
- \(y = f(x) + k\) : Grafik, \(y\) ekseninde \(k\) birim yukarı kaydırılır.
- \(y = f(x) - k\) : Grafik, \(y\) ekseninde \(k\) birim aşağı kaydırılır.
3. Yansıma
- \(y = -f(x)\) : Grafik, \(x\) eksenine göre yansıtılır.
- \(y = f(-x)\) : Grafik, \(y\) eksenine göre yansıtılır.
4. Ölçekleme (Genişletme/Daraltma)
- \(y = c \cdot f(x)\) (\(c > 1\)) : Grafik, \(y\) ekseninde daraltılır.
- \(y = c \cdot f(x)\) (\(0 < c < 1\)) : Grafik, \(y\) ekseninde genişletilir.
Parabol Grafiği ile Eşitsizlikler
Parabol grafikleri, ikinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesini bulmak için kullanılır. \(ax^2 + bx + c > 0\) veya \(ax^2 + bx + c < 0\) gibi eşitsizliklerde:
- Öncelikle \(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminin kökleri bulunur. Bu kökler, parabolün \(x\) eksenini kestiği noktalardır.
- \(a > 0\) ise kollar yukarı, \(a < 0\) ise kollar aşağı bakar.
- Kökler ve kol yönü kullanılarak, fonksiyonun pozitif veya negatif olduğu aralıklar belirlenir.
Unutmayın: Dönüşümler uygulanırken, başlangıçtaki \(y=x^2\) parabolünün temel şekli göz önünde bulundurulmalıdır. Her bir dönüşüm, grafiği belirli bir yönde hareket ettirir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Dönüşüm Sorusu
Soru: \(y = x^2\) parabolünün grafiği, önce \(x\) ekseninde \(3\) birim sağa, sonra \(y\) ekseninde \(2\) birim aşağı kaydırıldığında oluşan yeni parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm:
- \(y = x^2\) parabolü \(x\) ekseninde \(3\) birim sağa kaydırıldığında denklem \(y = (x-3)^2\) olur.
- Bu yeni denklem \(y\) ekseninde \(2\) birim aşağı kaydırıldığında ise \(y = (x-3)^2 - 2\) denklemi elde edilir.
Cevap: \(y = (x-3)^2 - 2\)
Örnek 2: Eşitsizlik Sorusu
Soru: \(x^2 - 5x + 6 < 0\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
- Önce \(x^2 - 5x + 6 = 0\) denkleminin köklerini bulalım. Çarpanlara ayırma yöntemiyle \((x-2)(x-3) = 0\) elde ederiz. Kökler \(x_1 = 2\) ve \(x_2 = 3\) 'tür.
- Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir ve \(a=1 > 0\) olduğu için kollar yukarı doğrudur.
- Grafiği çizersek, parabol \(x=2\) ve \(x=3\) noktalarında \(x\) eksenini keser ve kolları yukarı doğrudur.
- Eşitsizlik \(f(x) < 0\) olduğu için, grafiğin \(x\) ekseninin altında kaldığı aralığı arıyoruz. Bu aralık kökler arasındadır.
Cevap: Çözüm kümesi \((2, 3)\) aralığıdır.
\( f(x) = x^2 \) parabolü, dikey olarak 3 birim yukarı ötelendiğinde oluşan yeni parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( y = x^2 - 3 \)B) \( y = x^2 + 3 \)
C) \( y = (x+3)^2 \)
\( f(x) = x^2 \) parabolü, yatay olarak 2 birim sağa ötelendiğinde oluşan yeni parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( y = (x+2)^2 \)B) \( y = x^2 + 2 \)
C) \( y = (x-2)^2 \)
\( f(x) = x^2 \) parabolü, 1 birim sola ve 4 birim aşağı ötelendiğinde oluşan yeni parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( y = (x-1)^2 - 4 \)B) \( y = (x+1)^2 - 4 \)
C) \( y = (x+1)^2 + 4 \)
\( f(x) = x^2 \) parabolünün dikey olarak 2 kat gerilmesiyle (genişletilmesiyle) oluşan yeni parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( y = (2x)^2 \)B) \( y = 2x^2 \)
C) \( y = \frac{1}{2}x^2 \)
\( f(x) = x^2 \) parabolünün grafiği, \( g(x) = (x+3)^2 - 5 \) parabolünün grafiğini elde etmek için nasıl dönüştürülmelidir?
A) 3 birim sağa, 5 birim aşağı ötelenmelidir.B) 3 birim sola, 5 birim yukarı ötelenmelidir.
C) 3 birim sola, 5 birim aşağı ötelenmelidir.
\( x \) bir gerçek sayı olmak üzere, \( 3x - 5 < 7 \) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) \( 3 \)B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
\( x^2 - 4x - 5 \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( [-1, 5] \)B) \( (-∞, -1] \cup [5, ∞) \)
C) \( [-5, 1] \)
\( \frac{x-3}{x+2} > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-2, 3) \)B) \( (-∞, -2) \cup (3, ∞) \)
C) \( (-3, 2) \)
\( |2x - 1| < 5 \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) \( 4 \)B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
\( x^2 - 6x + 9 > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \mathbb{R} \)B) \( \mathbb{R} - \{3\} \)
C) \( (3, ∞) \)
\( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( x \) ekseni boyunca \( 3 \) birim sağa ve \( y \) ekseni boyunca \( 2 \) birim yukarı ötelenerek \( g(x) \) parabolü elde ediliyor. Buna göre \( g(x) \) fonksiyonunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( y = (x+3)^2 + 2 \)B) \( y = (x-3)^2 - 2 \)
C) \( y = (x-3)^2 + 2 \)
D) \( y = (x+2)^2 + 3 \)
E) \( y = (x-2)^2 + 3 \)
\( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) parabolünün tepe noktası \( T_1 \) 'dir. Bu parabol \( x \) ekseni boyunca \( 1 \) birim sola ve \( y \) ekseni boyunca \( 3 \) birim aşağı ötelenerek \( g(x) \) parabolü elde ediliyor. \( g(x) \) parabolünün tepe noktası \( T_2 \) olduğuna göre \( T_2 \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (3, 6) \)B) \( (1, 0) \)
C) \( (2, 4) \)
D) \( (0, 1) \)
E) \( (3, 0) \)
\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) parabolünün \( x \) eksenine göre yansıması olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( y = -x^2 - 6x + 5 \)B) \( y = -x^2 + 6x - 5 \)
C) \( y = x^2 + 6x + 5 \)
D) \( y = x^2 - 6x - 5 \)
E) \( y = -x^2 + 6x + 5 \)
\( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) parabolü önce \( x \) ekseni boyunca \( 1 \) birim sağa öteleniyor, ardından \( x \) eksenine göre yansıması alınıyor. Elde edilen yeni parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( y = -x^2 + 4x - 6 \)B) \( y = -x^2 - 4x + 6 \)
C) \( y = x^2 - 4x + 6 \)
D) \( y = (x-2)^2 - 2 \)
E) \( y = -(x-2)^2 + 2 \)
\( y = x^2 \) parabolünün \( y = -(x+3)^2 + 1 \) parabolüne dönüşümü için sırasıyla hangi işlemler uygulanmıştır?
A) \( x \) ekseni boyunca \( 3 \) birim sola, \( y \) ekseni boyunca \( 1 \) birim yukarı ötelenip, \( x \) eksenine göre yansıma alınmıştır.B) \( x \) eksenine göre yansıma alınıp, \( x \) ekseni boyunca \( 3 \) birim sola ve \( y \) ekseni boyunca \( 1 \) birim yukarı ötelenmiştir.
C) \( y \) eksenine göre yansıma alınıp, \( x \) ekseni boyunca \( 3 \) birim sağa ve \( y \) ekseni boyunca \( 1 \) birim yukarı ötelenmiştir.
D) \( x \) ekseni boyunca \( 3 \) birim sağa, \( y \) ekseni boyunca \( 1 \) birim aşağı ötelenip, \( x \) eksenine göre yansıma alınmıştır.
E) \( x \) ekseni boyunca \( 3 \) birim sola, \( y \) ekseni boyunca \( 1 \) birim aşağı ötelenip, \( y \) eksenine göre yansıma alınmıştır.
Belirli bir sıcaklıkta, aşağıdaki denge tepkimesi için derişimler cinsinden denge sabiti \( K_c = 0.5 \) olarak verilmiştir.
\( \text{N}_2\text{(g)} + 3\text{H}_2\text{(g)} \rightleftharpoons 2\text{NH}_3\text{(g)} \)
2 litrelik bir kapta 2 mol \( \text{N}_2 \), 4 mol \( \text{H}_2 \) ve 2 mol \( \text{NH}_3 \) bulunmaktadır. Bu andaki sistemin denge durumu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B) Denge ürünler yönüne kayar.
C) Denge girenler yönüne kayar.
D) Denge sabiti hesaplanamaz.
E) Tepkime hızı sıfırdır.
Oda sıcaklığında hazırlanan iki farklı çözelti için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
Çözelti X: \( [\text{H}^+] = 1.0 \times 10^{-3} \text{ M} \)
Çözelti Y: \( [\text{OH}^-] = 1.0 \times 10^{-5} \text{ M} \)
Buna göre, bu çözeltilerin pH değerleri arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir? (Oda sıcaklığında \( K_w = 1.0 \times 10^{-14} \) alınacaktır.)
B) \( \text{pH(X)} < \text{pH(Y)} \)
C) \( \text{pH(X)} = \text{pH(Y)} \)
D) Çözelti X bazik, Çözelti Y asidiktir.
E) Çözelti X nötr, Çözelti Y baziktir.
Oda sıcaklığında 100 mL \( 2.0 \times 10^{-3} \text{ M BaCl}_2 \) çözeltisi ile 100 mL \( 2.0 \times 10^{-3} \text{ M Na}_2\text{SO}_4 \) çözeltisi karıştırılıyor.
\( \text{BaSO}_4 \) katısının oda sıcaklığındaki çözünürlük çarpımı \( K_{sp} = 1.0 \times 10^{-10} \) olduğuna göre, bu karışımda \( \text{BaSO}_4 \) çökelmesi meydana gelir mi?
B) Çökelme meydana gelir çünkü \( Q_{sp} > K_{sp} \).
C) Çökelme meydana gelmez çünkü \( Q_{sp} = K_{sp} \).
D) Çözeltiler karıştırıldığında \( \text{BaSO}_4 \) oluşmaz.
E) Çözeltinin hacmi bilinmediği için yorum yapılamaz.
Aynı koşullarda ve benzer frekans faktörleriyle gerçekleşen iki farklı tepkime için aktivasyon enerjileri aşağıda verilmiştir:
Tepkime 1: \( \text{A(g)} + \text{B(g)} \to \text{C(g)} \), \( E_{a1} = 50 \text{ kJ/mol} \)
Tepkime 2: \( \text{X(g)} + \text{Y(g)} \to \text{Z(g)} \), \( E_{a2} = 70 \text{ kJ/mol} \)
Aynı sıcaklıkta bu iki tepkimenin hızları arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
B) Tepkime 1'in hızı, Tepkime 2'nin hızından büyüktür.
C) Tepkime 1'in hızı, Tepkime 2'nin hızına eşittir.
D) Tepkime hızları sıcaklığa bağlı değildir.
E) Tepkime hızları hakkında yorum yapılamaz.
Kapalı bir kapta dengede olan aşağıdaki tepkime için \( \Delta H < 0 \) (ekzotermik) olduğu bilinmektedir.
\( \text{CO(g)} + \text{Cl}_2\text{(g)} \rightleftharpoons \text{COCl}_2\text{(g)} \)
Bu denge sisteminde sıcaklık artırılırsa, \( \text{COCl}_2 \) derişimi başlangıçtaki derişimine göre nasıl değişir?
B) \( [\text{COCl}_2]_{\text{son}} < [\text{COCl}_2]_{\text{ilk}} \)
C) \( [\text{COCl}_2]_{\text{son}} = [\text{COCl}_2]_{\text{ilk}} \)
D) Tepkime hızı artar ancak derişim değişmez.
E) Denge sabiti artar.
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
\( x + 3 < 7 \)
\( 2x - 1 \ge 3 \)
B) \( (2, 4] \)
C) \( (2, 4) \)
D) \( [2, ∞) \)
E) \( (-∞, 4) \)
Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?
\( x^2 - 9 \le 0 \)
\( x + 2 > 0 \)
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
\( |x - 1| \le 3 \)
\( x^2 - 4x \ge 0 \)
B) \( [-2, 0] \cup \{4\} \)
C) \( [0, 4] \)
D) \( [-2, 4] \)
E) \( (-∞, 0] \cup [4, ∞) \)
Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır?
\( \frac{x-2}{x+1} < 0 \)
\( x^2 - 5x + 6 \ge 0 \)
B) \( 0 \)
C) \( 1 \)
D) \( 2 \)
E) \( 3 \)
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
\( x^2 - x - 6 < 0 \)
\( x^2 - 4x + 4 > 0 \)
B) \( (-2, 2) \cup (2, 3) \)
C) \( (2, 3) \)
D) \( (-2, ∞) \)
E) \( (-∞, 3) \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4585-11-sinif-parabolde-donusumler-test-coz-g1h8