Geometrik Şekillerde Dönüşümler: Yansıma, Dönme ve Öteleme
Merhaba sevgili 9. Sınıf öğrencileri! Bu dersimizde, geometrik şekillerin uzaydaki konumlarını değiştiren temel dönüşüm hareketlerini öğreneceğiz. Bu dönüşümler, şekillerin kendilerini değiştirmez, sadece yerlerini veya yönlerini belirler. Başlıca dönüşüm hareketlerimiz yansıma, dönme ve ötelemedir. Bu kavramları detaylı bir şekilde inceleyelim.
1. Yansıma (Ayna Görüntüsü)
📌 Yansıma, bir şeklin belirli bir doğruya (yansıma doğrusu) göre simetrisini almaktır. Şekil, yansıma doğrusuna olan uzaklığı kadar karşı tarafa taşınır ve şeklin yönü ters çevrilir. Tıpkı bir aynada kendi görüntümüz gibi!
- Koordinat Düzleminde Yansıma:
- x-eksenine göre yansıma: \((x, y)\) noktası \((x, -y)\) noktasına dönüşür.
- y-eksenine göre yansıma: \((x, y)\) noktası \((-x, y)\) noktasına dönüşür.
- Orijine göre yansıma: \((x, y)\) noktası \((-x, -y)\) noktasına dönüşür.
2. Dönme (Sabit Nokta Etrafında Çevirme)
💡 Dönme, bir şeklin sabit bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açıda (dönme açısı) ve belirli bir yönde (saat yönünde veya tersinde) çevrilmesidir. Şeklin boyutu ve şekli değişmez.
- Koordinat Düzleminde Dönme:
- Orijin etrafında \(90^\circ\) saat yönünün tersine dönme: \((x, y)\) noktası \((-y, x)\) noktasına dönüşür.
- Orijin etrafında \(180^\circ\) dönme: \((x, y)\) noktası \((-x, -y)\) noktasına dönüşür.
- Orijin etrafında \(270^\circ\) saat yönünün tersine (veya \(90^\circ\) saat yönünde) dönme: \((x, y)\) noktası \((y, -x)\) noktasına dönüşür.
3. Öteleme (Kaydırma)
🚀 Öteleme, bir şeklin düzlemde belirli bir doğrultuda ve belirli bir mesafede kaydırılmasıdır. Şeklin yönü, boyutu ve şekli değişmez. Sadece konumu değişir.
- Koordinat Düzleminde Öteleme:
- \((x, y)\) noktasının \(a\) birim sağa ve \(b\) birim yukarı ötelenmesi: \((x+a, y+b)\) noktasına dönüşür.
- \((x, y)\) noktasının \(a\) birim sola ve \(b\) birim aşağı ötelenmesi: \((x-a, y-b)\) noktasına dönüşür.
Dönüşümlerin Özellikleri
✅ Tüm bu dönüşümler, şekillerin büyüklüğünü ve şeklini korur. Sadece konumları veya yönleri değişir.
| Dönüşüm Türü | Şekli Korur mu? | Yönü Değiştirir mi? | Konumu Değiştirir mi? |
|---|---|---|---|
| Yansıma | Evet | Evet | Evet |
| Dönme | Evet | Evet (belirli açılarda) | Evet |
| Öteleme | Evet | Hayır | Evet |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Öteleme
Soru: \(A = (3, 5)\) noktasının \(4\) birim sağa ve \(2\) birim aşağı ötelenmesiyle oluşan \(A'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Öteleme kuralını kullanacağız: \((x, y) \rightarrow (x+a, y+b)\). Burada \(a=4\) (sağa öteleme) ve \(b=-2\) (aşağı öteleme) olur.
\(A = (3, 5)\) noktası için:
\(A' = (3+4, 5+(-2)) = (3+4, 5-2) = (7, 3)\)
Cevap: \(A'\) noktasının koordinatları \((7, 3)\) 'tür.
Örnek 2: Dönme
Soru: \(B = (2, 1)\) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(B'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Orijin etrafında \(90^\circ\) saat yönünün tersine dönme kuralı: \((x, y) \rightarrow (-y, x)\).
\(B = (2, 1)\) noktası için:
\(B' = (-1, 2)\)
Cevap: \(B'\) noktasının koordinatları \((-1, 2)\) 'dir.
Analitik düzlemde \( A(2, -3) \) noktası \( 4 \) birim sola ve \( 5 \) birim yukarı ötelendiğinde elde edilen yeni noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (6, 2) \)B) \( (-2, 2) \)
C) \( (-2, -8) \)
D) \( (6, -8) \)
E) \( (2, 2) \)
Analitik düzlemde \( B(-4, 6) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması (simetriği) olan nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (4, 6) \)B) \( (4, -6) \)
C) \( (-4, -6) \)
D) \( (6, -4) \)
E) \( (-6, 4) \)
Analitik düzlemde \( C(3, 4) \) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine (pozitif yönde) \( 90^\circ \) döndürülmesiyle elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-4, 3) \)B) \( (4, -3) \)
C) \( (-3, 4) \)
D) \( (3, -4) \)
E) \( (-4, -3) \)
Analitik düzlemde \( D(1, 2) \) noktasına önce \( y = x \) doğrusuna göre yansıma dönüşümü uygulanıyor. Daha sonra elde edilen bu nokta \( 2 \) birim sağa öteleniyor.
Buna göre, son durumda oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( (4, 2) \)
C) \( (1, 4) \)
D) \( (4, 1) \)
E) \( (3, 1) \)
Analitik düzlemde köşe noktaları \( K(1, 2) \), \( L(3, 4) \) ve \( M(5, 1) \) olan bir üçgenin \( y \) eksenine göre yansıması alınıyor.
Oluşan yeni üçgenin köşe noktalarının apsisleri (x değerleri) toplamı kaçtır?
B) \( 3 \)
C) \( 0 \)
D) \( -3 \)
E) \( -9 \)
Analitik düzlemde verilen \( A(3, 4) \) noktası, orijin etrafında pozitif yönde (saat yönünün tersine) \( 90^\circ \) döndürülüyor.
Buna göre, elde edilen \( A' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( (-4, 3) \)
C) \( (-3, 4) \)
D) \( (4, -3) \)
E) \( (-4, -3) \)
Analitik düzlemde \( B(-2, 5) \) noktası orijin etrafında \( 180^\circ \) döndürülüyor.
Elde edilen \( B' \) noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
B) \( -3 \)
C) \( 0 \)
D) \( 3 \)
E) \( 7 \)
Analitik düzlemde \( K(5, -2) \) noktası orijin etrafında negatif yönde (saat yönünde) \( 90^\circ \) döndürüldüğünde hangi nokta elde edilir?
A) \( (-2, -5) \)B) \( (2, 5) \)
C) \( (-5, 2) \)
D) \( (2, -5) \)
E) \( (5, 2) \)
Analitik düzlemde bir \( P(a, b) \) noktası orijin etrafında pozitif yönde \( 180^\circ \) döndürüldüğünde \( P'(4, -6) \) noktası elde ediliyor.
Buna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
B) \( -2 \)
C) \( 2 \)
D) \( 4 \)
E) \( 10 \)
Analitik düzlemde \( M(-3, 1) \) noktası orijin etrafında pozitif yönde \( 270^\circ \) döndürüldüğünde elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (1, 3) \)B) \( (-1, -3) \)
C) \( (3, 1) \)
D) \( (1, -3) \)
E) \( (-3, -1) \)
Analitik düzlemde bulunan \( A(4, -2) \) noktası, 3 birim sola ve 5 birim yukarı ötelenerek \( A' \) noktası elde ediliyor.
Buna göre, \( A' \) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( (7, 3) \)
C) \( (1, -7) \)
D) \( (7, -7) \)
E) \( (-1, 3) \)
Köşelerinin koordinatları \( K(1, 2) \), \( L(5, 2) \) ve \( M(3, 6) \) olan bir \( KLM \) üçgeni, 4 birim sağa ve 3 birim aşağı öteleniyor.
Bu öteleme sonucunda \( M \) noktasının yeni koordinatları \( M'(x, y) \) olduğuna göre, \( x + y \) toplamı kaçtır?
B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( 10 \)
E) \( 11 \)
Analitik düzlemde bir \( P(x, y) \) noktası 5 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelendiğinde \( P'(2, 6) \) noktası elde edilmektedir.
Buna göre, başlangıçtaki \( P \) noktasının koordinatları toplamı \( (x + y) \) kaçtır?
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
Analitik düzlemde \( B(-3, 4) \) noktası \( a \) birim sağa ve \( b \) birim aşağı ötelendiğinde \( B'(2, -1) \) noktası oluşmaktadır.
Buna göre, \( a \cdot b \) çarpımının değeri kaçtır?
B) \( 20 \)
C) \( 25 \)
D) \( 30 \)
E) \( 35 \)
Orijin noktası olan \( O(0, 0) \) noktasına sırasıyla aşağıdaki öteleme işlemleri uygulanıyor:
1. İşlem: 6 birim yukarı öteleme
2. İşlem: 4 birim sola öteleme
3. İşlem: 2 birim aşağı öteleme
Bu işlemler sonucunda ulaşılan son noktanın koordinatları nedir?
B) \( (-4, 4) \)
C) \( (-4, -4) \)
D) \( (4, -4) \)
E) \( (-4, 2) \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4831-9-sinif-geometrik-sekillerde-donme-yansima-oteleme-test-coz-n2kw