Asal Bölenler ve Çarpanlar Konu Notları
Asal Sayı Nedir?
Bir doğal sayının kendisinden ve \(1\) 'den başka pozitif böleni yoksa o sayıya asal sayı denir. En küçük asal sayı \(2\) 'dir ve tek çift asal sayıdır. Diğer asal sayılar tek sayılardır.
- Örnek asal sayılar: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots\)
- \(1\) sayısı asal sayı değildir.
- \(4, 6, 8, 9, 10, \dots\) gibi sayılar asal değildir çünkü \(1\) ve kendisinden başka bölenleri vardır.
Asal Çarpan Nedir?
Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı oluşturan asal sayılardır. Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış şekli, o sayının asal çarpanlarının çarpımı olarak ifade edilir.
Bir Sayının Asal Çarpanlarına Ayrılması
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla asal sayılara bölme işlemi yapılır. Bölme işlemi \(1\) kalana kadar devam eder.
Örnek: \(60\) sayısının asal çarpanlarına ayrılması
$ \(60 \div 2 = 30\) \(
\) \(30 \div 2 = 15\) \(
\) \(15 \div 3 = 5\) \(
\) \(5 \div 5 = 1\) \(
Bu durumda \) 60 \( sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli: \) \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2\) ^ \(2 \times 3\) ^ \(1 \times 5\) ^1 \( olur.
💡 \) 60 \( sayısının asal çarpanları \) 2, 3 \( ve \) 5 \('tir.
Asal Bölen Nedir?
Bir sayının kendisini kalansız bölebilen asal sayılara o sayının asal bölenleri denir. Bir sayının asal bölenleri, o sayının asal çarpanları ile aynıdır.
Örnek: \) 72 \( sayısının asal bölenleri
Öncelikle \) 72 \( sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\) \(72 \div 2 = 36\) \(
\) \(36 \div 2 = 18\) \(
\) \(18 \div 2 = 9\) \(
\) \(9 \div 3 = 3\) \(
\) \(3 \div 3 = 1\) \(
Yani, \) \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2\) ^ \(3 \times 3\) ^2 \(.
✅ \) 72 \( sayısının asal bölenleri \) 2 \( ve \) 3 \('tür.
Asal Bölen Sayısı
Bir sayının asal bölenlerinin sayısını bulmak için, sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra kaç farklı asal sayı olduğunu sayarız.
Örnek: \) 180 \( sayısının asal bölen sayısı
\) \(180 = 18 \times 10 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1\) \(
📌 \) 180 \( sayısının asal bölenleri \) 2, 3 \( ve \) 5 \('tir. Dolayısıyla \) 180 \( sayısının \) 3 \( tane asal böleni vardır.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1:
Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?
A) \) 15 \( B) \) 17 \( C) \) 21 \( D) \) 27 \(
Çözüm 1:
Bir sayının asal olabilmesi için \) 1 \( ve kendisinden başka böleni olmaması gerekir.
- \) \(15 = 3 \times 5\) \( (Asal değil)
- \) 17 \('nin bölenleri \) 1 \( ve \) 17 \('dir. (Asal)
- \) \(21 = 3 \times 7\) \( (Asal değil)
- \) \(27 = 3 \times 9 = 3\) ^3 \( (Asal değil)
🚀 Bu nedenle doğru cevap B seçeneğidir, yani \) 17 \( asal sayıdır.
Soru 2:
\) 120 \( sayısının asal çarpanları toplamı kaçtır?
Çözüm 2:
Önce \) 120 \( sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\) \(120 = 12 \times 10 = (2^2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1\) \(
📌 \) 120 \( sayısının asal çarpanları \) 2, 3 \( ve \) 5 \('tir.
Bu asal çarpanların toplamı: \) \(2 + 3 + 5 = 10\) \('dur.
✅ Sonuç olarak, \) 120 \( sayısının asal çarpanları toplamı \) 10$'dur.
Aşağıda verilen sayının birbirinden farklı asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
\[ 210 \]
B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 17 \)
E) \( 19 \)
Aşağıdaki ifadenin en büyük asal böleni kaçtır?
\[ 13! - 12! \]
B) \( 11 \)
C) \( 13 \)
D) \( 17 \)
E) \( 19 \)
Aşağıdaki toplamın en büyük asal böleni kaçtır?
\[ 22^2 + 33^2 + 44^2 \]
B) \( 17 \)
C) \( 23 \)
D) \( 29 \)
E) \( 31 \)
\( 210 \) sayısının birbirinden farklı asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
A) \( 10 \)B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 17 \)
E) \( 19 \)
Aşağıdaki ifadenin en büyük asal böleni kaçtır?
\[ 6! + 7! \]
B) \( 5 \)
C) \( 7 \)
D) \( 11 \)
E) \( 13 \)
\( A \) sayısının kaç farklı asal böleni vardır?
\[ A \(= 15\) ^ \(2 \cdot 14\) ^3 \]
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
Aşağıda verilen sayının birbirinden farklı asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
\[ 420 \]
B) \( 13 \)
C) \( 15 \)
D) \( 17 \)
E) \( 19 \)
Aşağıdaki ifadenin kaç farklı asal böleni vardır?
\[ 10! + 11! \]
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
\( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılar olmak üzere, aşağıdaki eşitliği sağlayan en küçük \( a \) sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
\[\(120 \cdot\) a \(=\) b^2 \]
B) \( 8 \)
C) \( 10 \)
D) \( 12 \)
E) \( 15 \)
\( 12^3 - 12 \) sayısının asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
\[ 12^3 - 12 \]
B) \( 26 \)
C) \( 29 \)
D) \( 31 \)
E) \( 33 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4931-10-sinif-asal-bolenler-test-coz-ogvr