📌 Doğrular ve Açılar: Temel Kavramlar ve İlişkiler
Doğru, Işın ve Doğru Parçası
Geometride temel yapı taşlarından olan doğru, ışın ve doğru parçasını tanıyalım:
- Doğru: İki yönde sonsuza uzanan, düz bir çizgi kümesidir. Başlangıç ve bitiş noktası yoktur. İki farklı noktadan sadece bir doğru geçer. \(d\) gibi harflerle gösterilir.
- Işın: Bir başlangıç noktası olan ve bir yönde sonsuza uzanan düz çizgi kümesidir. Başlangıç noktası bellidir, diğer ucu sonsuza gider. \([AB\) gibi gösterilir, \(A\) başlangıç noktasıdır.
- Doğru Parçası: İki uç noktası belli olan, bu iki nokta arasındaki düz çizgi kümesidir. Hem başlangıcı hem de sonu bellidir. \([AB]\) gibi gösterilir.
Açı Nedir?
Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimi açıyı oluşturur. Açılar, noktaların birbirine göre konumunu ve açıklığını belirtir.
- Açılar \(^\circ\) (derece) birimiyle ölçülür.
- Bir açının köşesi, iki ışının kesiştiği noktadır.
- Açılar \(\angle ABC\) veya sadece \(\angle B\) şeklinde gösterilebilir.
Özel Açılar
Açıların ölçülerine göre sınıflandırılması:
- Dar Açı: Ölçüsü \(0^\circ\) ile \(90^\circ\) arasında olan açılardır. (\(0^\circ < α < 90^\circ\))
- Dik Açı: Ölçüsü tam olarak \(90^\circ\) olan açılardır. \(\perp\) sembolüyle gösterilir.
- Geniş Açı: Ölçüsü \(90^\circ\) ile \(180^\circ\) arasında olan açılardır. (\(90^\circ < α < 180^\circ\))
- Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak \(180^\circ\) olan açıdır.
- Tam Açı: Ölçüsü tam olarak \(360^\circ\) olan açıdır.
Açı Çeşitleri ve İlişkileri
Açılar arasındaki özel ilişkilere göz atalım:
- Tümler Açılar: Toplamları \(90^\circ\) olan iki açıya denir. Eğer bir açı \(α\) ise, tümleyeni \(90^\circ - α\) 'dır.
- Bütünler Açılar: Toplamları \(180^\circ\) olan iki açıya denir. Eğer bir açı \(\beta\) ise, bütünleyeni \(180^\circ - \beta\) 'dır.
- Ters Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, zıt yönlü açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Yöndeş Açılar: İki paralel doğruyu kesen bir transversal (kesen) doğrunun oluşturduğu, aynı yöne bakan açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
- İç Ters Açılar: İki paralel doğruyu kesen bir transversal doğrunun oluşturduğu, birbirine ters tarafta ve paralel doğruların arasında kalan açılardır. İç ters açıların ölçüleri eşittir.
- Karşı Durumlu Açılar: İki paralel doğruyu kesen bir transversal doğrunun oluşturduğu, birbirine aynı tarafta ve paralel doğruların arasında kalan açılardır. Karşı durumlu açıların toplamı \(180^\circ\) 'dir.
Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar
Bu konu, geometride birçok problemi çözmek için temeldir. 💡
İki paralel doğru (\(d_1 \parallel d_2\)) bir kesen (\(t\)) ile kesildiğinde oluşan açılar arasında şu ilişkiler vardır:
- Yöndeş açılar eşittir.
- İç ters açılar eşittir.
- Dış ters açılar eşittir.
- Karşı durumlu açıların toplamı \(180^\circ\) 'dir.
Unutmayın: Paralellik varsa, yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eşittir; karşı durumlu açıların toplamı \(180^\circ\) 'dir. Paralellik yoksa bu ilişkiler geçerli değildir.
🚀 Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Tümler ve Bütünler Açılar
Bir açının ölçüsü, bütünleyeninin ölçüsünün yarısına eşittir. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Aradığımız açıya \(x\) diyelim.
- Bu açının bütünleyeni \(180^\circ - x\) 'tir.
- Soruda verilen bilgiye göre: \(x = \frac{180^\circ - x}{2}\)
- Denklemi çözelim: \(2x = 180^\circ - x\)
- \(3x = 180^\circ\)
- \(x = \frac{180^\circ}{3}\)
- \(x = 60^\circ\)
Bu açı \(60^\circ\) 'dir. ✅
Örnek 2: Paralel Doğrular ve Kesen
Şekilde \(d_1 \parallel d_2\) ve \(t\) doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. \(\angle A = 55^\circ\) olduğuna göre, \(\angle B\) kaç derecedir?
(Varsayımsal bir şekil çizimi: \(d_1\) üstte, \(d_2\) altta paralel. \(t\) doğrusu sağdan sola çapraz kesiyor. \(\angle A\), \(d_1\) doğrusunun solunda, \(t\) doğrusunun üstünde kalan açıdır. \(\angle B\), \(d_2\) doğrusunun solunda, \(t\) doğrusunun altında kalan açıdır.)
Çözüm:
\(\angle A\) ve \(\angle B\) açılarının konumuna bakalım.
- \(\angle A\) ile \(d_1\) doğrusunun sağında, \(t\) doğrusunun üstünde kalan açı yöndeş açıdır ve ölçüsü eşittir (\(55^\circ\)).
- Bu \(55^\circ\) 'lik açı ile \(\angle B\) açısı iç ters açılardır.
- Bu nedenle, \(\angle B = 55^\circ\).
Alternatif olarak:
- \(\angle A\) ile \(d_1\) doğrusunun sağında, \(t\) doğrusunun altında kalan açı iç ters açıdır ve ölçüsü eşittir (\(55^\circ\)).
- Bu \(55^\circ\) 'lik açı ile \(\angle B\) açısı doğru açının bütünleridir (yani toplamları \(180^\circ\) 'dir).
- \(\angle B = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\). (Bu durumda \(\angle A\) ve \(\angle B\) 'nin konumu farklı olmalı. Sorudaki tanıma göre \(\angle B\) iç ters açıdır.)
Düzeltme: Eğer \(\angle A\) ve \(\angle B\) yukarıdaki tarif edildiği gibiyse, bunlar iç ters açılardır. Dolayısıyla \(\angle B = \angle A = 55^\circ\). ✅
Bir açının bütünler açısının ölçüsü, tümler açısının ölçüsünün \( 3 \) katından \( 20^\circ \) eksiktir. Buna göre bu açının ölçüsü kaç derecedir?
A) \( 35 \)B) \( 45 \)
C) \( 55 \)
D) \( 65 \)
Birbirine paralel iki doğru arasında kalan ve aynı yöne bakan (yöndeş) açılardan birinin ölçüsü \( 3x + 20^\circ \), diğerinin ölçüsü ise \( 5x - 10^\circ \) 'dir. Buna göre \( x \) kaçtır?
A) \( 10 \)B) \( 15 \)
C) \( 20 \)
D) \( 25 \)
Ölçüsü \( 130^\circ \) olan bir \( ABC \) açısının açıortayı \( [BD \) ışınıdır. Buna göre \( ABD \) açısının ölçüsünü veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?
\[ m(ABD) \(= 2\) x + 15^ \(\circ\) \] Yukarıdaki ifadeye göre \( x \) değeri kaçtır?
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
Paralel iki doğruyu bir kesen kestiğinde oluşan karşı durumlu açıların (U kuralı) toplamı \( 180^\circ \) 'dir. Bu açılardan birinin ölçüsü \( 4x \), diğerinin ölçüsü ise \( 2x + 30^\circ \) olduğuna göre \( x \) kaçtır?
A) \( 20 \)B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında bir "M" kuralı oluşmuştur. Sola bakan açıların ölçüleri \( 25^\circ \) ve \( 45^\circ \) olduğuna göre, sağa bakan \( a \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
\[ a \(= 25\) ^ \(\circ + 45\) ^ \(\circ\) \]
B) \( 65 \)
C) \( 70 \)
D) \( 75 \)
Tümler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün \( 4 \) katından \( 10^\circ \) eksiktir. Buna göre küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
\[ x + (4x - 10) \(= 90\) \]
B) \( 20 \)
C) \( 25 \)
D) \( 30 \)
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularını kesen bir \( t \) doğrusunun oluşturduğu iç ters açılardan birinin ölçüsü \( 3x - 10^\circ \), diğeri ise \( x + 30^\circ \) dir. Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
\[ 3x \(- 10 =\) x + 30 \]
B) \( 20 \)
C) \( 30 \)
D) \( 40 \)
Bir \( ABC \) açısının ölçüsü \( 112^\circ \) dir. Bu açının açıortayı olan \( [BD \) ışını çizildiğinde oluşan açıların her birinin ölçüsü kaç derecedir?
\[ m(\(\widehat{ABC}\)) \(= 112\) ^ \(\circ\) \]
B) \( 54 \)
C) \( 56 \)
D) \( 58 \)
Paralel iki doğru arasında aynı yöne bakan açılardan biri \( 2x + 15^\circ \), diğeri ise \( 75^\circ \) olan yöndeş açılardır. Buna göre \( x \) kaçtır?
\[ 2x \(+ 15 = 75\) \]
B) \( 30 \)
C) \( 40 \)
D) \( 50 \)
Bütünler iki açının birbirine oranı \( \frac{4}{5} \) olduğuna göre, büyük açının ölçüsü kaç derecedir?
\[\(\frac{a}{b} = \frac{4}{5}\) \]
B) \( 90 \)
C) \( 100 \)
D) \( 110 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/4953-7-sinif-dogrular-ve-aci-test-coz-n9a1