✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Karekök fonksiyonların nitel özellikleri Test Çöz

SORU 1

\( f: [2, ∞) \rightarrow [3, ∞) \) olmak üzere, tanımlı olduğu aralıkta verilen aşağıdaki fonksiyonun tersi aşağıdakilerden hangisidir?

\[ f(x) \(= \sqrt{x-2} + 3\) \]

A) \( f^{-1}(x) = (x-3)^2 + 2 \)
B) \( f^{-1}(x) = (x+3)^2 - 2 \)
C) \( f^{-1}(x) = (x-2)^2 + 3 \)
D) \( f^{-1}(x) = \sqrt{x+2} - 3 \)
E) \( f^{-1}(x) = x^2 - 3x + 2 \)
Açıklama:
Fonksiyonun tersini bulmak için \( y = f(x) \) eşitliğinde \( x \) değişkenini yalnız bırakalım:

\[ y \(= \sqrt{x-2} + 3\) \]
\( 3 \) sayısını karşıya atalım:
\[ y \(- 3 = \sqrt{x-2}\) \]
Her iki tarafın karesini alalım:
\[ (y-3)^ \(2 =\) x-2 \]
\( -2 \) sayısını karşıya atalım:
\[ x \(=\) (y-3)^2 + 2 \]
Son olarak \( x \) ile \( y \) yer değiştirilirse fonksiyonun tersi:
\[ f^{-1}(x) \(=\) (x-3)^2 + 2 \] olarak bulunur.
Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

Karekök Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Karekök Fonksiyonun Tanımı ve Temel Özellikleri

Karekök fonksiyonu, matematikte temel fonksiyonlardan biridir ve genellikle \(f(x) = \sqrt{x}\) şeklinde gösterilir. Bu fonksiyonun en önemli özelliği, tanım kümesinin negatif olmayan reel sayılar olmasıdır. Yani, \(x \ge 0\) olmalıdır. Görüntü kümesi ise yine negatif olmayan reel sayılardır, yani \(f(x) \ge 0\) olur.

📌 Tanım Kümesi: \([0, ∞)\)

📌 Görüntü Kümesi: \([0, ∞)\)

Karekök Fonksiyonların Grafikleri

Karekök fonksiyonunun grafiği, birinci bölgede yer alan ve orijinden (\(0,0\)) başlayan, sağa doğru yatay bir eğri şeklindedir. Grafik, \(x\) eksenine göre simetrik değildir ancak \(y = x\) doğrusuna göre simetriktir.

Karekök Fonksiyonların Tersi

Karekök fonksiyonunun tersini bulmak için öncelikle fonksiyonun birebir ve örten olup olmadığına bakılır. \(f(x) = \sqrt{x}\) fonksiyonu, tanım ve görüntü kümesi \([0, ∞)\) olarak alındığında birebir ve örtendir.

Tersini bulmak için şu adımlar izlenir:

  1. \(y = \sqrt{x}\) yazılır.
  2. Her iki tarafın karesi alınır: \(y^2 = x\).
  3. \(x\) yalnız bırakılır: \(x = y^2\).
  4. \(x\) ve \(y\) yer değiştirilir: \(y = x^2\).

Ancak, ters fonksiyonun tanım kümesi orijinal fonksiyonun görüntü kümesi, görüntü kümesi ise orijinal fonksiyonun tanım kümesi olmalıdır. Bu nedenle, \(f(x) = \sqrt{x}\) fonksiyonunun tersi \(f^{-1}(x) = x^2\) olup, bu ters fonksiyonun tanım kümesi \([0, ∞)\) ve görüntü kümesi \([0, ∞)\) 'dur.

Karekök Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Karekök fonksiyonları, monoton artan fonksiyonlardır. Yani, tanım kümesindeki her \(x_1 < x_2\) için \(f(x_1) < f(x_2)\) eşitsizliği sağlanır.

💡 Önemli Not: Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerektiği kuralı, fonksiyonun tanım kümesini belirlemede kritik rol oynar.

Karekök Fonksiyonun Özellikleri
Özellik Açıklama
Tanım Kümesi \(x \ge 0\)
Görüntü Kümesi \(f(x) \ge 0\)
Monotonluk Artan Fonksiyon
Grafik Şekli Orijinden başlayan, sağa doğru yukarı eğimli bir kol

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1:

\(f(x) = \sqrt{x-3}\) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Çözüm:

Karekök fonksiyonun içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Bu nedenle, \(x-3 \ge 0\) olmalıdır. Bu eşitsizliği sağlayan \(x\) değerleri \(x \ge 3\) 'tür. O halde, fonksiyonun tanım kümesi \([3, ∞)\) 'dur.

Soru 2:

\(f(x) = \sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiği, \(g(x) = \sqrt{x} - 2\) fonksiyonunun grafiğinden ne kadar farklıdır?

Çözüm:

\(g(x) = \sqrt{x} - 2\) fonksiyonunun grafiği, \(f(x) = \sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiğinin \(y\) ekseni boyunca \(2\) birim aşağı ötelenmiş halidir. Yani, \(f(x)\) 'in grafiği orijinden başlarken, \(g(x)\) 'in grafiği \((0, -2)\) noktasından başlar ve sağa doğru artar.