8. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve Katlar 🚀
Temel Kavramlar 📌
Merhaba sevgili 8. Sınıf öğrencileri! Bu notumuzda, LGS'nin önemli konularından biri olan Çarpanlar ve Katlar konusunu derinlemesine inceleyeceğiz. Bu konu, sayıların yapısını anlamak ve problemlerin çözümünde stratejik düşünmek için temel oluşturur.
Asal Sayılar ve Bölenler 💡
Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılardır. Örneğin, \(12\) sayısının çarpanları \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) 'dir.
Asal sayılar ise sadece \(1\) 'e ve kendisine bölünebilen \(1\) 'den büyük doğal sayılardır. En küçük asal sayı \(2\) 'dir ve tek çift asal sayıdır. Örnekler: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots\)
Asal Çarpanlara Ayırma ✅
Her \(1\) 'den büyük doğal sayı, \(1\) ve kendisi hariç, çarpımları şeklinde yazılabilir. Bu sayılara o sayının asal çarpanları denir. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla bölme işlemi yapılır.
Örnek: \(36\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
Bu durumda \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\) şeklinde yazılır. Buradaki \(2\) ve \(3\) sayıları \(36\) 'nın asal çarpanlarıdır.
Bölen Sayısı ve Toplamı 📊
Bir sayının pozitif bölen sayısını ve bölenlerinin toplamını bulmak için asal çarpanlarına ayırma yönteminden yararlanırız.
Eğer bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}\) ise:
- Pozitif Bölen Sayısı: \((a_1+1) \times (a_2+1) \times \dots \times (a_k+1)\)
- Pozitif Bölenlerinin Toplamı: \((1 + p_1 + p_1^2 + \dots + p_1^{a_1}) \times (1 + p_2 + p_2^2 + \dots + p_2^{a_2}) \times \dots \times (1 + p_k + p_k^2 + \dots + p_k^{a_k})\)
Örnek: \(120\) sayısının bölen sayısını ve toplamını bulalım.
\(120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1\).
- Bölen Sayısı: \((3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16\)
- Bölen Toplamı: \((1+2+2^2+2^3) \times (1+3) \times (1+5) = (1+2+4+8) \times 4 \times 6 = 15 \times 4 \times 6 = 360\)
Kat Kavramı ➕
Bir sayının katları, o sayının pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır. Örneğin, \(5\) sayısının katları \(5, 10, 15, 20, \dots\) 'dir.
Ortak Katlar ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🌟
İki veya daha fazla sayının ortak olan katlarına ortak kat denir. Bu ortak katların en küçüğüne ise En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir.
EKOK bulma yöntemleri:
- Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Her asal çarpanın üssü en büyük olacak şekilde çarpılır.
- Asal Olmayan Çarpanları Listeleyerek: Sayıların katları listelenir ve ilk ortak kat bulunur. (Küçük sayılar için kullanışlıdır.)
Örnek: \(12\) ve \(18\) sayılarının EKOK'unu bulalım.
\(12 = 2^2 \times 3^1\) \(18 = 2^1 \times 3^2\)
EKOK(\(12, 18\)) \(=\) \(2^{\max(2,1)} \times 3^{\max(1,2)} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\).
Ortak Bölenler ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🎯
İki veya daha fazla sayının ortak olan bölenlerine ortak bölen denir. Bu ortak bölenlerin en büyüğüne ise En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir.
EBOB bulma yöntemleri:
- Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Her ortak asal çarpanın üssü en küçük olacak şekilde çarpılır.
- Asal Olmayan Bölenleri Listeleyerek: Sayıların bölenleri listelenir ve en büyük ortak bölen bulunur.
Örnek: \(12\) ve \(18\) sayılarının EBOB'unu bulalım.
\(12 = 2^2 \times 3^1\) \(18 = 2^1 \times 3^2\)
EBOB(\(12, 18\)) \(=\) \(2^{\min(2,1)} \times 3^{\min(1,2)} = 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6\).
EBOB ve EKOK İlişkisi 🔗
İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Eğer \(a\) ve \(b\) iki pozitif tam sayı ise: \(a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b)\)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1:
\(72\) sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulunuz.
Çözüm: Öncelikle \(72\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \(72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2\). Pozitif bölen sayısı formülü \((a_1+1) \times (a_2+1) \times \dots\) idi. Burada \(a_1 = 3\) (üssü) ve \(a_2 = 2\) (üssü). Bölen sayısı \(=\) \((3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12\) 'dir. Yani \(72\) sayısının \(12\) tane pozitif tam böleni vardır.
Soru 2:
\(40\) ve \(60\) sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz.
Çözüm: \(40\) ve \(60\) sayılarının asal çarpanlarına ayırarak EKOK'larını bulalım: \(40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5^1\). \(60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\). EKOK'u bulmak için her asal çarpanın en büyük üssünü alırız: EKOK(\(40, 60\)) \(=\) \(2^{\max(3,2)} \times 3^{\max(0,1)} \times 5^{\max(1,1)} = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120\). Yani \(40\) ve \(60\) sayılarının en küçük ortak katı \(120\) 'dir.
Aşağıda verilen sayının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
\[ 120 \]
B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 15 \)
Aşağıda verilen sayı çiftinin en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
\[\(48 \text{ ve } 72\) \]
B) \( 18 \)
C) \( 24 \)
D) \( 36 \)
Bir limandan kalkan iki gemiden birincisi \( 12 \) günde bir, ikincisi ise \( 15 \) günde bir sefere çıkmaktadır. Bu iki gemi aynı gün sefere çıktıktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar?
A) \( 30 \)B) \( 45 \)
C) \( 60 \)
D) \( 120 \)
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
A) \( 15 \text{ ile } 21 \)B) \( 14 \text{ ile } 35 \)
C) \( 18 \text{ ile } 25 \)
D) \( 27 \text{ ile } 33 \)
Kenar uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olan bir dikdörtgenin alanı aşağıda verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu dikdörtgenin kenar uzunluklarından biri olamaz?
\[\(\text{Alan} = 40 \text{ cm}\) ^2 \]
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
\( 72 \) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 2^2 \cdot 3^2 \)B) \( 2^3 \cdot 3^2 \)
C) \( 2^2 \cdot 3^3 \)
D) \( 2^3 \cdot 3^3 \)
\( 48 \) ve \( 60 \) sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
A) \( 6 \)B) \( 12 \)
C) \( 24 \)
D) \( 48 \)
Bir limandaki iki gemiden biri \( 12 \) günde bir, diğeri \( 18 \) günde bir sefere çıkmaktadır. Bu iki gemi aynı gün sefere çıktıktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar?
A) \( 30 \)B) \( 36 \)
C) \( 54 \)
D) \( 72 \)
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
A) \( 15 \) ile \( 21 \)B) \( 18 \) ile \( 27 \)
C) \( 14 \) ile \( 25 \)
D) \( 22 \) ile \( 33 \)
Aralarında asal iki sayının çarpımı \( 60 \) olduğuna göre, bu iki sayının en küçük ortak katı (EKOK) kaçtır?
A) \( 1 \)B) \( 30 \)
C) \( 60 \)
D) \( 120 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/5121-8-sinif-lgs-carpanlar-katlar-test-coz-p0rh