✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Sayma Test Çöz

SORU 1

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 4 farklı yol bulunmaktadır.

Buna göre, A şehrinden hareket eden bir kişi B şehrine uğramak kaydıyla C şehrine kaç farklı yoldan gidebilir?

A) \( 7 \)
B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 15 \)
E) \( 20 \)
Açıklama:
Saymanın çarpma ilkesine göre, bir olay \( n \) farklı şekilde, buna bağlı ikinci bir olay \( m \) farklı şekilde gerçekleşiyorsa, bu olayların birlikte gerçekleşme sayısı \( n \times m \) formülü ile bulunur. A'dan B'ye 3 yol ve B'den C'ye 4 yol olduğuna göre: \[\(3 \times 4 = 12\) \] farklı yol bulunur.
Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

10. Sınıf Matematik: Sayma, Sıralama ve Tekrarlı Permütasyon

Giriş: Saymanın Temel İlkesi 📌

Temel sayma prensibi, bir olayın gerçekleşebileceği farklı yolların sayısını bulmak için kullanılan en temel yöntemdir. İki temel kuralı vardır:

Permütasyon (Sıralama) 🚀

Permütasyon, bir nesne grubunu sıralama veya düzenleme biçimidir. Nesnelerin sırası önemlidir.

\(n\) 'li bir gruptan \(r\) tanesinin permütasyonu:

Bu, \(n\) farklı nesne arasından \(r\) tanesini seçip sıralama sayısıdır ve \(P(n, r)\) veya \(nPr\) ile gösterilir.

Formülü: \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

Burada \(n!\) (n faktöriyel), \(1\) 'den \(n\) 'ye kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır: \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1\).

Özel Durum: \(n\) farklı nesnenin \(n\) li permütasyonu \(n!\) 'dir.

Tekrarlı Permütasyon 💡

Tekrarlı permütasyon, bir nesne grubunda tekrar eden elemanlar olduğunda kullanılır. Nesnelerin sırası yine önemlidir, ancak tekrar eden elemanlar aynı kabul edilir.

\(n\) nesnenin \(n_1\) tanesi 1. türden, \(n_2\) tanesi 2. türden, ..., \(n_k\) tanesi k. türden aynı olmak üzere kaç farklı şekilde sıralanabileceği:

Formülü: \(\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}\)

Burada \(n_1 + n_2 + \dots + n_k = n\) 'dir.

Özet Tablo ✅

Kavram Açıklama Formül
Toplama Kuralı Birbirini dışlayan olaylar için \(n(A) + n(B)\)
Çarpma Kuralı Birbirini takip eden olaylar için \(n(A) \times n(B)\)
\(n\) 'li gruptan \(r\) li Permütasyon Sıralama önemlidir, tekrar yok \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)
Tekrarlı Permütasyon Sıralama önemlidir, tekrar var \(\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}\)

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1:

5 farklı matematik kitabı, 3 farklı fizik kitabı ve 2 farklı kimya kitabı bir rafta kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm: Toplamda \(5 + 3 + 2 = 10\) farklı kitap vardır. Bu 10 farklı kitabı sıralamanın yolu \(10!\) 'dir. \(10! = 3.628.800\).

Soru 2:

MATEMATIK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı anlamlı veya anlamsız kelime yazılabilir?

Çözüm: Kelimede toplam \(9\) harf vardır. Harflerin tekrar sayıları şöyledir: M: \(2\) adet, A: \(2\) adet, T: \(2\) adet, E: \(1\) adet, İ: \(1\) adet, K: \(1\) adet. Tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak: \(\frac{9!}{2! 2! 2! 1! 1! 1!} = \frac{362.880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362.880}{8} = 45.360\).