11. Sınıf Matematik Ders Notları: Eşitsizlikler, İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ve Çemberde Açı-Uzunluk
1. Eşitsizlikler
Eşitsizlikler, iki nicelik arasındaki büyüklük veya küçüklük ilişkisini ifade eder. Temel eşitsizlik sembolleri \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) şeklindedir.
1.1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Bir bilinmeyenin en yüksek üssünün \(1\) olduğu eşitsizliklerdir. Çözüm kümesi genellikle bir aralık belirtir.
- Eşitsizliklerde her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarparsak veya bölersek eşitsizlik yön değiştirmez.
- Eşitsizliklerde her iki tarafı negatif bir sayıyla çarparsak veya bölersek eşitsizlik yön değiştirir.
- Eşitsizliklerde bilinmeyenin olduğu terimi yalnız bırakmaya çalışırız.
Örnek: \(3x - 5 < 10\) eşitsizliğini çözelim.
\(3x < 10 + 5\)
\(3x < 15\)
\(x < \frac{15}{3}\)
\(x < 5\)
Çözüm kümesi: \((-∞, 5)\)
1.2. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Bir bilinmeyenin en yüksek üssünün \(2\) olduğu eşitsizliklerdir. Bu tür eşitsizlikleri çözerken tablo yöntemi kullanılır.
- Eşitsizliğin kökleri bulunur.
- Kökler sayı doğrusuna yerleştirilir.
- En sağdaki aralıktan başlanarak işaret belirlenir (kökün derecesi tek ise işaret değişir, çift ise değişmez).
- Eşitsizliğin işaretine göre çözüm aralıkları belirlenir.
2. İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
İçinde iki farklı bilinmeyenin bulunduğu ve bu bilinmeyenlerin en yüksek üssünün \(2\) olduğu denklem sistemleridir. Bu tür sistemlerin çözümünde yerine koyma veya yok etme metotları kullanılır.
2.1. Yerine Koyma Metodu
Bir denklemdeki bilinmeyenlerden biri, diğer bilinmeyen cinsinden ifade edilerek diğer denklemde yerine yazılır.
2.2. Yok Etme Metodu
Denklemlerin katsayıları uygun sayılarla çarpılarak bilinmeyenlerden biri yok edilir.
Örnek Sistem:
\(x + y = 7\)
\(xy = 10\)
Bu sistemde \(x\) ve \(y\) kökleri \(t^2 - 7t + 10 = 0\) denkleminin kökleridir.
\((t-2)(t-5) = 0\)
\(t_1 = 2\), \(t_2 = 5\)
Çözüm kümeleri: \(\{(2, 5), (5, 2)\}\)
3. Çemberde Açı ve Uzunluk
Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Merkez, yarıçap ve çevre gibi kavramlar önemlidir.
3.1. Çemberde Açılar
- Merkez Açı: Köşesi çemberin merkezinde olan açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Çevre Açı: Köşesi çemberin üzerinde olan açıdır. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Teğet Kiriş Açı: Bir teğet ile bir kirişin çemberin üzerinde kesiştiği açıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
3.2. Çemberde Uzunluklar
- Yarıçap (\(r\)): Çemberin merkezinden çember üzerindeki bir noktaya olan uzaklıktır.
- Çap (\(d\)): Çemberin merkezinden geçen ve uç noktaları çember üzerinde olan doğru parçasıdır. \(d = 2r\).
- Çevre (Ç): Çemberin etrafındaki toplam uzunluktur. \(Ç = 2 π r\).
- Yay Uzunluğu: Çemberin bir parçası olan yayın uzunluğudur. Merkez açısı \(α\) (radyan) olan yayın uzunluğu \(L = r α\). Derece cinsinden \(α\) ise \(L = \frac{2 π r α}{360}\).
3.3. Çemberde Alan
- Daire Alanı (A): \(A = π r^2\).
- Daire Dilimi Alanı: Merkez açısı \(α\) (radyan) olan daire diliminin alanı \(A_{dilim} = \frac{1}{2} r^2 α\). Derece cinsinden \(α\) ise \(A_{dilim} = \frac{π r^2 α}{360}\).
💡Unutma: Merkez açı ile gördüğü yay ölçüsü aynıdır. Çevre açı ile gördüğü yay ölçüsü arasındaki ilişkiyi iyi kavra.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1:
Soru: \(x^2 - 4x + 3 \le 0\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Önce \(x^2 - 4x + 3 = 0\) denkleminin köklerini bulalım.
\((x-1)(x-3) = 0\)
Kökler: \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 3\).
Şimdi tablo yöntemi ile eşitsizliği inceleyelim:
| Aralık | \((-∞, 1)\) | \((1, 3)\) | \((3, ∞)\) |
| \(x^2 - 4x + 3\) işareti | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Eşitsizlik \(\le 0\) olduğu için negatif değerleri ve kökleri alırız. Çözüm kümesi: \([1, 3]\). ✅
Soru 2:
Soru: Merkezi \(O\) noktası olan yarım çemberde \(m(\widehat{AB}) = 120^{\circ}\) ve yarıçap \(r = 6\) cm ise \(AB\) kirişinin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Merkez açısı \(120^{\circ}\) olan bir kirişin uzunluğunu bulmak için kosinüs teoremini kullanabiliriz. \(OAB\) üçgeninde \(OA = OB = r = 6\) cm.
Kosinüs Teoremi: \(AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(120^{\circ})\)
\(AB^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})\)
\(AB^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{2})\)
\(AB^2 = 72 + 36\)
\(AB^2 = 108\)
\(AB = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) cm. 🚀
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[ x^2 - 5x + 6 < 0 \]
B) \( (-∞, 2) \cup (3, ∞) \)
C) \( [2, 3] \)
Aşağıda verilen eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
\[\(\frac{x-4}{x+2} \leq 0\) \]
B) \( 7 \)
C) \( 9 \)
Aşağıdaki eşitsizliğin en küçük pozitif tam sayı çözümü kaçtır?
\[ (x^2 - 1)(x - 5) > 0 \]
B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
\[\(\begin{cases}\) x - y \(= 2\) \ x^2 + y^ \(2 = 20 \end{cases}\) \]
B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan \( (x, y) \) ikililerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[\(\begin{cases} 2\) x^2 - y^ \(2 = 14\) \ x^2 + y^ \(2 = 13 \end{cases}\) \]
B) \( (2, 3) \)
C) \( (1, 4) \)
Aşağıda verilen denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[\(\begin{cases}\) x + y \(= 7\) \ x \(\cdot\) y \(= 12 \end{cases}\) \]
B) \( \{ (2, 6), (6, 2) \} \)
C) \( \{ (1, 12), (12, 1) \} \)
Bir çemberde \( O \) merkezli \( \widehat{AOB} \) merkez açısının ölçüsü \( 110^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, aynı \( AB \) yayını gören bir \( \widehat{ACB} \) çevre açısının ölçüsü kaç derecedir?
B) \( 110 \)
C) \( 220 \)
Bir çemberin dışındaki bir \( P \) noktasından çembere çizilen \( [PA] \) ve \( [PB] \) teğet parçalarının uzunlukları sırasıyla \( 4x - 2 \) ve \( 2x + 10 \) birimdir.
Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
B) \( 6 \)
C) \( 8 \)
Bir çember içerisinde birbirini \( E \) noktasında kesen \( [AB] \) ve \( [CD] \) kirişleri verilmiştir. \( |AE| = 4 \) cm, \( |EB| = 12 \) cm ve \( |CE| = 6 \) cm olduğuna göre;
\( |ED| = x \) kaç cm'dir?
B) \( 8 \)
C) \( 10 \)
Aşağıda verilen eşitsizliğin gerçek sayılardaki en geniş çözüm kümesi hangisidir?
\[\(\frac{x - 5}{x + 3} \leq 0\) \]
B) \( [-3, 5] \)
C) \( (-3, 5) \)
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[\(\frac{x^2 - 4}{x - 5} \le 0\) \]
B) \( [-2, 2] \cup (5, ∞) \)
C) \( (-∞, -2] \cup (5, ∞) \)
D) \( [-2, 5) \)
E) \( (-∞, 2] \cup (5, ∞) \)
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[\(\begin{cases}\) x^2 - 9 < 0 \ x + 1 >\(0 \end{cases}\) \]
B) \( (-1, 3) \)
C) \( (-3, -1) \)
D) \( (1, 3) \)
E) \( (-1, ∞) \)
Aşağıda verilen eşitsizliği sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
\[\(\frac{(x-3) \cdot (x+1)^2}{x-5} \le 0\) \]
B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
E) \( 8 \)
Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
\[\(\begin{cases}\) x^2 + y^ \(2 = 25\) \ x - y \(= 1 \end{cases}\) \]
B) \( 0 \)
C) \( 1 \)
D) \( 2 \)
E) \( 3 \)
\( x \) ve \( y \) gerçel sayıları için verilen aşağıdaki denklem sistemine göre, \( x \cdot y \) çarpımının değeri kaçtır?
\[\(\begin{cases}\) x^2 - y^ \(2 = 15\) \ x - y \(= 3 \end{cases}\) \]
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
\[\(\begin{cases}\) y \(=\) x^2 - 4x + 3 \ y \(= 2\) x \(- 6 \end{cases}\) \]
B) \( 1 \)
C) \( 2 \)
D) \( 3 \)
E) \( 4 \)
Bir çemberde, gördükleri yayların ölçüleri \( 70^\circ \) ve \( 110^\circ \) olan iki kirişin çember içinde kesişmesiyle oluşan iç açının ölçüsü kaç derecedir?
\[ α \(= \frac\) {m(\(\text{Yay}\) _1) + m(\(\text{Yay}\) _2)}{2} \]
B) \( 90 \)
C) \( 100 \)
D) \( 110 \)
E) \( 120 \)
Yarıçapı \( 10 \) cm olan bir çemberde, merkeze uzaklığı \( 6 \) cm olan bir kirişin uzunluğu kaç cm'dir?
A) \( 8 \)B) \( 12 \)
C) \( 14 \)
D) \( 16 \)
E) \( 18 \)
Bir çemberin dışındaki \( P \) noktasından çembere bir \( [PT] \) teğeti ve çemberi sırasıyla \( A \) ve \( B \) noktalarında kesen bir kesen çizilmiştir. \( |PT| = 12 \) cm ve \( |PA| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AB| \) uzunluğu kaç cm'dir?
\[ |PT|^ \(2 =\) |PA| \(\cdot\) |PB| \]
B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 14 \)
E) \( 18 \)
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[ x^2 - 5x + 6 < 0 \]
B) \( (2, 3) \)
C) \( (3, ∞) \)
D) \( (-∞, 2) \cup (3, ∞) \)
E) \( [2, 3] \)
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
\[\(\frac{x-4}{x+2} \leq 0\) \]
B) \( 7 \)
C) \( 9 \)
D) \( 11 \)
E) \( 13 \)
\( x \) 'in bütün gerçek sayı değerleri için aşağıdaki eşitsizlik sağlandığına göre, \( m \) 'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
\[ x^2 + 4x + m > 0 \]
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
Aşağıda verilen denklem sistemini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
\[\(\begin{cases}\) x^2 + y^ \(2 = 25\) \ x - y \(= 1 \end{cases}\) \]
B) \( -1 \)
C) \( 0 \)
D) \( 1 \)
E) \( 2 \)
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[\(\begin{cases}\) y \(=\) x^2 - 2x + 1 \ y \(=\) x \(+ 5 \end{cases}\) \]
B) \( \{(1, 4), (4, 9)\} \)
C) \( \{(-1, -4), (4, 9)\} \)
D) \( \{(-1, 4), (-4, 9)\} \)
E) \( \{(1, -4), (-4, -9)\} \)
Aşağıdaki denklem sistemine göre \( x \cdot y \) çarpımının değeri kaçtır?
\[\(\begin{cases}\) x^2 - y^ \(2 = 24\) \ x - y \(= 4 \end{cases}\) \]
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
Bir çemberde \( 110^\circ \) ölçüsündeki bir yayı gören çevre açının ölçüsü \( α \) ve aynı yayı gören teğet-kiriş açının ölçüsü \( \beta \) olduğuna göre:
\[ α \(+ \beta\) \] toplamı kaç derecedir?
B) \( 70 \)
C) \( 90 \)
D) \( 110 \)
E) \( 120 \)
Bir çember içerisinde kesişen \( [AB] \) ve \( [CD] \) kirişlerinin kesim noktası \( P \) 'dir. \( |AP| = 4 \) cm, \( |PB| = 9 \) cm ve \( |CP| = 6 \) cm olduğuna göre:
\[ |PD| \] uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
E) \( 10 \)
Çember dışındaki bir \( P \) noktasından çembere çizilen teğet parçası \( |PT| = 12 \) cm'dir. \( P \) noktasından geçen bir kesen çemberi \( A \) ve \( B \) noktalarında kesmektedir. \( |PA| = 8 \) cm ve \( A \) noktası \( P \) ile \( B \) noktaları arasında olduğuna göre:
\[ |AB| \] uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 14 \)
E) \( 18 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/5198-11-sinif-esitsizlik-test-coz-hvc2