12. Sınıf Matematik Türev Konuları Tekrar Notları
Çarpımın Türevi 🚀
İki fonksiyonun çarpımının türevini alırken kullanılan kuraldır. Eğer \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\) şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, türevi şu şekilde bulunur:
\(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)
Burada \(u'(x)\), \(u(x)\) fonksiyonunun türevini; \(v'(x)\) ise \(v(x)\) fonksiyonunun türevini ifade eder.
Bölmenin Türevi 💡
İki fonksiyonun bölümünün türevini alırken kullanılan kuraldır. Eğer \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, türevi şu şekilde bulunur:
\(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\)
Bu kuralı akılda tutmak için payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi şeklinde ezberlenebilir.
Zincir Kuralı ✅
Bileşke fonksiyonların türevini almak için kullanılır. Eğer \(y = f(u)\) ve \(u = g(x)\) ise, \(y\) 'nin \(x\) 'e göre türevi şu şekilde hesaplanır:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
Başka bir deyişle, dış fonksiyonun türevi çarpı içinin türevi şeklinde düşünülebilir. Eğer \(h(x) = f(g(x))\) ise, \(h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) olur.
İkinci Türev Alma 📌
Bir fonksiyonun birinci türevinin türevini alarak ikinci türevini elde ederiz. Fonksiyon \(f(x)\) ise, birinci türevi \(f'(x)\) ve ikinci türevi \(f''(x)\) ile gösterilir.
Örneğin, \(f(x) = x^3\) ise, \(f'(x) = 3x^2\) ve \(f''(x) = 6x\) 'dir.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar 📈📉
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevini kullanırız.
- Eğer \(f'(x) > 0\) ise, \(f(x)\) fonksiyonu o aralıkta artandır.
- Eğer \(f'(x) < 0\) ise, \(f(x)\) fonksiyonu o aralıkta azalandır.
- Eğer \(f'(x) = 0\) ise, o noktada fonksiyonun yerel ekstremumu (maksimum veya minimum) olabilir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Çarpımın Türevi
Soru: \(f(x) = (x^2 + 1)(e^x)\) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Burada \(u(x) = x^2 + 1\) ve \(v(x) = e^x\) olarak alalım.
Türevlerini hesaplayalım: \(u'(x) = 2x\) ve \(v'(x) = e^x\).
Çarpımın türevi kuralını uygulayalım: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)
\(f'(x) = (2x)(e^x) + (x^2 + 1)(e^x)\)
\(f'(x) = e^x(2x + x^2 + 1)\)
\(f'(x) = e^x(x^2 + 2x + 1)\)
\(f'(x) = e^x(x+1)^2\)
Örnek 2: Zincir Kuralı ve İkinci Türev
Soru: \(f(x) = \sin(x^2)\) fonksiyonunun ikinci türevini bulunuz.
Çözüm:
Önce birinci türevi bulalım (Zincir Kuralı kullanarak):
\(f'(x) = \cos(x^2) \cdot (2x)\)
\(f'(x) = 2x \cos(x^2)\)
Şimdi birinci türevin türevini alarak ikinci türevi bulalım (Çarpımın Türevi kuralı kullanarak):
\(u(x) = 2x \implies u'(x) = 2\)
\(v(x) = \cos(x^2) \implies v'(x) = -\sin(x^2) \cdot (2x) = -2x \sin(x^2)\)
\(f''(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)
\(f''(x) = 2 \cdot \cos(x^2) + (2x) \cdot (-2x \sin(x^2))\)
\(f''(x) = 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2)\)
Tanımlı olduğu aralıkta \( f(x) \) fonksiyonu verilmiştir.
\[ f(x) \(=\) (x^2 + 1) \(\cdot\) (2x - 3) \]
Buna göre, \( f'(1) \) ifadesinin değeri kaçtır?
B) \( 0 \)
C) \( 2 \)
D) \( 4 \)
E) \( 6 \)
Aşağıda \( g(x) \) fonksiyonunun kuralı verilmiştir.
\[ g(x) \(=\) (x^3 - x) \(\cdot\) (x^2 + 4) \]
Buna göre, \( g'(0) \) değeri kaçtır?
B) \( -2 \)
C) \( 0 \)
D) \( 2 \)
E) \( 4 \)
\( f \) ve \( g \) türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere, \( h(x) \) fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:
\[ h(x) \(=\) f(x) \(\cdot\) g(x) \]
\( f(2) = 3 \), \( f'(2) = 4 \), \( g(2) = -1 \) ve \( g'(2) = 5 \) olduğuna göre, \( h'(2) \) değeri kaçtır?
B) \( 9 \)
C) \( 11 \)
D) \( 13 \)
E) \( 15 \)
\( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f'(2) \) değeri kaçtır?
B) \( -1 \)
C) \( 0 \)
D) \( 1 \)
E) \( 2 \)
\( f(x) = \frac{3x - 2}{x + 4} \) olduğuna göre, \( f'(x) \) aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( \frac{12}{(x + 4)^2} \)
C) \( \frac{14}{(x + 4)^2} \)
D) \( \frac{16}{(x + 4)^2} \)
E) \( \frac{18}{(x + 4)^2} \)
\( f(x) = \frac{x^2}{x + 1} \) fonksiyonu için türevi sıfıra eşitleyen negatif \( x \) değeri kaçtır?
B) \( -3 \)
C) \( -2 \)
D) \( -1 \)
E) \( 0 \)
\( y = u^2 + 3u \) ve \( u = 2x - 1 \) fonksiyonları tanımlanıyor.
Buna göre, \( \frac{dy}{dx} \) türevinin \( x = 2 \) noktasındaki değeri kaçtır?
B) \( 14 \)
C) \( 16 \)
D) \( 18 \)
E) \( 20 \)
\( y = t^3 + 1 \), \( t = z^2 \) ve \( z = \sqrt{x} \) olduğuna göre, türevin zincir kuralı kullanılarak hesaplanan
\[\(\frac{dy}{dx}\) \] ifadesinin \( x = 1 \) noktasındaki değeri kaçtır?
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
\( y = f(u) \) ve \( u = 2x^2 - 5 \) fonksiyonları veriliyor.
\( f'(3) = 4 \) olduğuna göre, \( \frac{dy}{dx} \) ifadesinin \( x = 2 \) noktasındaki değeri kaçtır?
B) \( 16 \)
C) \( 24 \)
D) \( 32 \)
E) \( 40 \)
\( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1 \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f''(2) \) değeri kaçtır?
B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
E) \( 10 \)
f fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:
\[ f(x) \(=\) (2x - 1)^4 \] Buna göre, \( f''(1) \) ifadesinin değeri kaçtır?
B) \( 24 \)
C) \( 36 \)
D) \( 48 \)
E) \( 96 \)
\( a \) bir reel sayı olmak üzere, \( f(x) = ax^3 + 2x^2 - 5 \) fonksiyonu için \( f''(1) = 10 \) olduğu biliniyor.
Buna göre, \( a \) kaçtır?
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) \) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
\[ f(x) \(= \begin{cases} -\) x + 3, & x < 2 \ x^2 - 4x + 5, & x \(\ge 2 \end{cases}\) \] Buna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( [2, ∞) \)
C) \( (0, 2) \)
D) \( \mathbb{R} \)
E) \( \emptyset \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) fonksiyonu tüm gerçek sayılar kümesinde daima artan bir fonksiyondur.
\[ f(x) \(= \begin{cases} 2\) x + 5, & x \(\le 1\) \(k-3)x + 8, & x >\(1 \end{cases}\) \] Buna göre, \( k \) tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) fonksiyonu her \( x \) gerçek sayısı için azalan bir fonksiyondur.
\[ f(x) \(= \begin{cases}\) ax + 1, & x < 0 \ -x^2 + 1, & x \(\ge 0 \end{cases}\) \] Buna göre, \( a \) katsayısının alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( a \ge 0 \)
C) \( a < 0 \)
D) \( a \le 0 \)
E) \( a = 1 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/5348-12-sinif-carpimin-turevi-test-coz-mps6