AYT Geometri: Pisagor Teoremi 🚀
Temel Kavramlar ve Formül 💡
Pisagor teoremi, dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklayan temel bir geometrik prensiptir. Bir dik üçgende, dik açının karşısında bulunan kenara hipotenüs (genellikle \(c\) ile gösterilir), diğer iki kenara ise dik kenarlar (genellikle \(a\) ve \(b\) ile gösterilir) denir.
Teorem, dik kenarların karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu ifade eder. Matematiksel olarak şu şekilde formüle edilir:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Burada:
- \(a\) ve \(b\): Dik kenarların uzunlukları
- \(c\): Hipotenüsün uzunluğu
Pisagor Teoreminin Özellikleri ve Kullanım Alanları 📌
Pisagor teoremi, yalnızca geometrik problemlerde değil, aynı zamanda fizik, mühendislik ve haritacılık gibi birçok alanda da kullanılır. Dik üçgenin varlığından emin olunduğunda, bilinmeyen bir kenar uzunluğunu hesaplamak için idealdir.
Önemli Noktalar:
- Teorem sadece dik üçgenlerde geçerlidir.
- Kenar uzunlukları pozitif reel sayılardır.
- Kullanılan birimlerin tutarlı olması önemlidir (örn. hepsi cm veya hepsi metre).
Pisagor Üçlüleri ✅
Belirli tam sayı kenar uzunluklarına sahip dik üçgenlere Pisagor üçlüleri denir. En yaygın bilinen Pisagor üçlüleri şunlardır:
| Dik Kenar 1 (\(a\)) | Dik Kenar 2 (\(b\)) | Hipotenüs (\(c\)) |
|---|---|---|
| \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(5\) | \(12\) | \(13\) |
| \(8\) | \(15\) | \(17\) |
| \(7\) | \(24\) | \(25\) |
Bu üçlülerin katları da birer Pisagor üçlüsü oluşturur. Örneğin, \((3, 4, 5)\) üçlüsünün katı olan \((6, 8, 10)\) de bir Pisagor üçlüsüdür.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Basit Hesaplama
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \(6\) cm, diğeri \(8\) cm ise hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Pisagor teoremini kullanırız: \(a^2 + b^2 = c^2\). Bilinen değerleri yerine koyalım:
\(6^2 + 8^2 = c^2\)
\(36 + 64 = c^2\)
\(100 = c^2\)
\(c = \sqrt{100}\)
\(c = 10\) cm
Hipotenüs uzunluğu \(10\) cm'dir.
Örnek 2: Hipotenüs Biliniyor
Bir dik üçgenin hipotenüsü \(25\) birim ve dik kenarlarından biri \(7\) birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
Teoremi tekrar uygularız: \(a^2 + b^2 = c^2\). Bu sefer bir dik kenarı (\(a=7\)) ve hipotenüsü (\(c=25\)) biliyoruz. Diğer dik kenarı (\(b\)) bulacağız.
\(7^2 + b^2 = 25^2\)
\(49 + b^2 = 625\)
\(b^2 = 625 - 49\)
\(b^2 = 576\)
\(b = \sqrt{576}\)
\(b = 24\) birim
Diğer dik kenarın uzunluğu \(24\) birimdir.
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları \( 5 \) cm ve \( 12 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 14 \)
C) \( 15 \)
D) \( 17 \)
Hipotenüs uzunluğu \( 10 \) cm ve bir dik kenar uzunluğu \( 6 \) cm olan bir dik üçgenin diğer dik kenar uzunluğu kaç cm'dir?
\[ 6^2 + x^ \(2 = 10\) ^2 \]
B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( \sqrt{136} \)
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları \( \sqrt{7} \) cm ve \( 3 \) cm'dir.
Buna göre bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 5 \)
C) \( \sqrt{10} \)
D) \( \sqrt{58} \)
Dik kenar uzunlukları \( 8 \) cm ve \( 15 \) cm olan bir dik üçgenin çevre uzunluğu kaç cm'dir?
\[\(\text{Çevre} =\) a + b + c \]
B) \( 38 \)
C) \( 40 \)
D) \( 42 \)
Bir kenar uzunluğu \( 4 \) cm olan bir karenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir?
\[ d \(= \sqrt{a^2 + a^2}\) \]
B) \( 4\sqrt{2} \)
C) \( 8 \)
D) \( 8\sqrt{2} \)
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları \( 8 \) cm ve \( 15 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
B) 17
C) 19
D) 21
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu \( \sqrt{13} \) cm ve dik kenarlardan birinin uzunluğu \( 2 \) cm'dir.
Buna göre, diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
B) 4
C) \( \sqrt{5} \)
D) \( \sqrt{11} \)
\( ABC \) bir dik üçgen, \( [AB] \perp [BC] \), \( |AB| = 5 \) cm ve \( |AC| = 13 \) cm'dir.
Buna göre, \( BC \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
B) 10
C) 11
D) 12
Kenar uzunlukları \( x \), \( x+1 \) ve \( x+2 \) olan bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu \( x+2 \) birimdir.
Buna göre, \( x \) değeri kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
İkizkenar bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \( 10 \) cm'dir.
Buna göre, bu üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 5\sqrt{2} \)
C) \( 10\sqrt{2} \)
D) 20
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/5598-ayt-pisagor-teoremi-test-coz-iesx