9. Sınıf Matematik Ders Notları
📌 Pisagor Teoremi ve Temel Benzerlik
Merhaba sevgili 9. Sınıf öğrencileri! Bu ünitede geometriye sağlam bir giriş yapıyoruz. Pisagor teoremi, dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklar. Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Eğer dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs ise \(c\) ise, Pisagor teoremi şu şekilde ifade edilir:
$ \( a^2 + b^2 = c^2 \) \(
Temel Benzerlik Teoremi ise üçgenlerin benzerliği ile ilgilidir. İki üçgenin karşılıklı açıları eşitse, bu üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
💡 Örnek: Bir dik üçgenin dik kenarları \) 6 \( cm ve \) 8 \( cm ise, hipotenüsü kaç cm'dir? Pisagor teoremini kullanarak:
\) \( 6^2 + 8^2 = c^2 \) \(
\) \( 36 + 64 = c^2 \) \(
\) \( 100 = c^2 \) \(
\) \( c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \) \(
📊 Nokta ve Kutu Grafiği
Nokta ve Kutu Grafiği (Box Plot), bir veri setinin dağılımını, ortalamasını ve yayılımını görselleştirmek için kullanılan etkili bir araçtır. Beş temel noktadan oluşur: minimum değer, birinci çeyrek (\) Q_1 \(), medyan (\) Q_2 \(), üçüncü çeyrek (\) Q_3 \() ve maksimum değer.
- Minimum: Veri setindeki en küçük değer.
- \) Q_1 \(: Verilerin ilk %25'lik diliminin üst sınırı (medyanın solundaki verilerin medyanı).
- Medyan (\) Q_2 \(): Veri setinin tam ortasındaki değer.
- \) Q_3 \(: Verilerin ilk %75'lik diliminin üst sınırı (medyanın sağındaki verilerin medyanı).
- Maksimum: Veri setindeki en büyük değer.
Bu grafik, aykırı değerleri tespit etmek için de kullanışlıdır.
🎲 Deneysel Olasılık
Deneysel olasılık, bir olayın deneyler sonucunda kaç kez gerçekleştiğini gözlemleyerek hesaplanan olasılıktır. Teorik olasılıktan farklı olarak, gerçek deneme sonuçlarına dayanır.
Formülü şöyledir:
\) \( \text{Deneysel Olasılık} = \frac{\text{İstenen Olayın Gerçekleşme Sayısı}}{\text{Toplam Deney Sayısı}} \) \(
💡 Örnek: Bir madeni para \) 50 \( kez atıldığında \) 28 \( kez yazı gelirse, yazı gelme deneysel olasılığı:
\) \( P(\text{Yazı}) = \frac{28}{50} = \frac{14}{25} \) \(
⚖️ Mantık Bağlaçları
Mantıkta önermeleri birbirine bağlamak için kullanılan sembollere mantık bağlaçları denir. En yaygın olanları şunlardır:
- VE (\) \(\land\) \(): İki önerme de doğru ise sonuç doğrudur.
- VEYA (\) \(\lor\) \(): En az bir önerme doğru ise sonuç doğrudur.
- İSE (\) \(\implies\) \(): Birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış ise sonuç yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.
- Ancak ve Ancak (\) \(\iff\) \(): İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise sonuç doğrudur.
✅ Örnek: \) p: " \(2+2=4\) " \( (Doğru), \) q: "İstanbul Türkiye'nin başkentidir." \( (Yanlış).
\) p \(\land\) q \( önermesi yanlıştır çünkü \) q \( yanlıştır.
\) p \(\lor\) q \( önermesi doğrudur çünkü \) p \( doğrudur.
🔄 Değişebilirlik Türleri
Bu konuda değişkenlerin nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Genellikle iki ana türden bahsedilir:
- Doğru Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır. \) y \(=\) kx \( şeklinde ifade edilir.
- Ters Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır. \) y \(= \frac{k}{x}\) \( veya \) xy \(=\) k \( şeklinde ifade edilir.
🚀 Örnek: Bir işçi \) 5 \( günde \) 10 \( parça ürün yapıyorsa, \) 15 \( günde kaç parça ürün yapar? (Doğru orantı)
\) \( \frac{10 \text{ parça}}{5 \text{ gün}} = \frac{x \text{ parça}}{15 \text{ gün}} \implies x = \frac{10 \times 15}{5} = 30 \text{ parça} \) \(
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1 (Pisagor):
Bir ABC dik üçgeninde, \) AB \( kenarı \) 12 \( birim, \) BC \( kenarı \) 5 \( birimdir. \) AC \( kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu bir dik üçgen olduğundan Pisagor teoremini kullanabiliriz. Hipotenüs \) AC \( kenarıdır. Dik kenarlar \) AB \( ve \) BC \('dir.
\) \( (AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2 \) \(
\) \( 12^2 + 5^2 = (AC)^2 \) \(
\) \( 144 + 25 = (AC)^2 \) \(
\) \( 169 = (AC)^2 \) \(
\) \( AC = \sqrt{169} = 13 \text{ birim} \) \(
Cevap: \) AC \(= 13\) \( birimdir.
Soru 2 (Mantık Bağlaçları):
\) p: "Karesi \(4\) olan tek bir sayı vardır." \( ve \) q: "En küçük asal sayı \(1\) 'dir." \( önermeleri veriliyor. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
- \) p \(\land\) q \(
- \) p \(\lor\) q \(
- \) p \(\implies\) q \(
Çözüm:
Öncelikle \) p \( ve \) q \( önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim:
- \) p \(: Karesi \) 4 \( olan sayılar \) 2 \( ve \) -2 \('dir. Tek bir sayı yoktur. Dolayısıyla \) p \( önermesi Yanlış (Y)'dir.
- \) q \(: En küçük asal sayı \) 2 \('dir. Dolayısıyla \) q \( önermesi Yanlış (Y)'dir.
Şimdi bağlaçları uygulayalım:
- \) p \(\land\) q \(: \) Y \(\land\) Y \(\equiv\) Y \( (Yanlış)
- \) p \(\lor\) q \(: \) Y \(\lor\) Y \(\equiv\) Y \( (Yanlış)
- \) p \(\implies\) q \(: \) Y \(\implies\) Y \(\equiv\) D$ (Doğru)
Cevaplar: 1. Yanlış, 2. Yanlış, 3. Doğru.
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \) olarak verilmiştir. \( |AB| = 5 \text{ cm} \) ve \( |AC| = 13 \text{ cm} \) olduğuna göre;
\[ |BC| \(=\) x \]
değeri kaç cm'dir?
B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 11 \)
E) \( 12 \)
\( ABC \) üçgeninde \( [DE] // [BC] \) olmak üzere \( |AD| = 4 \text{ cm} \), \( |DB| = 2 \text{ cm} \) ve \( |AE| = 6 \text{ cm} \) veriliyor.
Buna göre, \( |EC| = x \) kaç cm'dir?
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
Dik kenar uzunlukları \( \sqrt{7} \text{ cm} \) ve \( 3 \text{ cm} \) olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \( c \) olsun.
Buna göre, \( c \) değeri kaç cm'dir?
B) \( \sqrt{10} \)
C) \( \sqrt{14} \)
D) \( 5 \)
E) \( 16 \)
\( ABC \) ve \( ADE \) üçgenlerinde \( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{AED}) \), \( |AD| = 4 \text{ cm} \), \( |AE| = 5 \text{ cm} \) ve \( |EC| = 3 \text{ cm} \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( |DB| = x \) kaç cm'dir?
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
E) \( 8 \)
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \), \( |AB| = 8 \text{ cm} \) ve \( |AC| = 17 \text{ cm} \) 'dir. \( [BC] \) kenarı üzerinde bir \( D \) noktası işaretleniyor ve \( |DC| = 9 \text{ cm} \) olduğu biliniyor.
Buna göre, \( |AD| \) uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 13 \)
E) \( 15 \)
Bir sınıftaki öğrencilerin bir günde okudukları sayfa sayıları nokta grafiği ile gösterilmiştir. Veri grubundaki değerler şu şekildedir:
\( 5, 5, 10, 10, 10, 15, 15, 20, 25 \)
Bu veri grubunun açıklığı (ranj) kaçtır?
B) \( 15 \)
C) \( 20 \)
D) \( 25 \)
E) \( 30 \)
Bir veri grubuna ait kutu grafiğinde bazı değerler aşağıda verilmiştir:
\[ Q_ \(1 = 14\), \(\quad \text{Medyan} = 22\), \(\quad\) Q_ \(3 = 36\) \]
Bu veri grubunun çeyrekler açıklığı (IQR) kaçtır?
B) \( 14 \)
C) \( 22 \)
D) \( 36 \)
E) \( 50 \)
Aşağıda bir veri grubuna ait sayılar küçükten büyüğe sıralanmış olarak verilmiştir:
\[ 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24 \]
Bu verilerle bir kutu grafiği oluşturulduğunda, kutunun içindeki medyan çizgisi hangi sayı üzerinde olur?
B) \( 14 \)
C) \( 16 \)
D) \( 18 \)
E) \( 20 \)
Bir nokta grafiğinde \( 10 \) sayısının üzerinde \( 2 \) nokta, \( 20 \) sayısının üzerinde \( 5 \) nokta ve \( 30 \) sayısının üzerinde \( 3 \) nokta bulunmaktadır.
Bu veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?
B) \( 20 \)
C) \( 21 \)
D) \( 23 \)
E) \( 25 \)
Bir veri grubuna ait kutu grafiği incelendiğinde şu bilgiler saptanmıştır:
- En küçük değer: \( 4 \)
- Alt çeyrek (\( Q_1 \)): \( 10 \)
- Üst çeyrek (\( Q_3 \)): \( 25 \)
- En büyük değer: \( 40 \)
Bu bilgilere göre, veri grubundaki değerlerin yüzde kaçı \( 10 \) ile \( 25 \) değerleri arasındadır?
B) \( 40 \)
C) \( 50 \)
D) \( 75 \)
E) \( 100 \)
Bir madeni para \( 20 \) kez havaya atılıyor. Bu atışların \( 12 \) tanesinde tura, geri kalanında yazı gelmiştir. Buna göre, bu deneyde paranın yazı gelme olayının deneysel olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{2}{5} \)B) \( \frac{3}{5} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( \frac{4}{5} \)
E) \( \frac{1}{4} \)
Bir zar \( 50 \) kez atılıyor ve üst yüze gelen sayıların frekansları (gelme sayıları) aşağıdaki gibidir:
\[ 1: 8, \(\quad 2\): 10, \(\quad 3\): 7, \(\quad 4\): 9, \(\quad 5\): 11, \(\quad 6\): 5 \]
Buna göre, bu deney sonuçlarına göre zarın üst yüzüne \( 3 \) 'ten büyük bir sayı gelme olayının deneysel olasılığı kaçtır?
B) \( \frac{9}{50} \)
C) \( \frac{11}{50} \)
D) \( \frac{24}{50} \)
E) \( \frac{3}{5} \)
Bir basketbolcu yaptığı \( 40 \) serbest atıştan \( 16 \) tanesini baskete çevirebilmiştir. Bu basketbolcunun bir sonraki atışta basket atamama olayının deneysel olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{2}{5} \)B) \( \frac{1}{2} \)
C) \( \frac{3}{5} \)
D) \( \frac{4}{5} \)
E) \( \frac{1}{5} \)
Bir torbadan rastgele bir bilye çekilip rengine bakıldıktan sonra tekrar torbaya atılıyor. Bu işlem \( 60 \) kez tekrarlanıyor ve \( 24 \) kez kırmızı, \( 18 \) kez mavi, \( 18 \) kez sarı bilye çekiliyor. Buna göre, çekilen bilyenin mavi olma olayının deneysel olasılığı yüzde kaçtır?
A) \( 20 \)B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
E) \( 40 \)
Bir madeni para \( 100 \) kez havaya atıldığında \( 55 \) kez tura gelmiştir. Tura gelme olayının deneysel olasılığı ile teorik olasılığı arasındaki fark kaçtır?
A) \( 0,05 \)B) \( 0,1 \)
C) \( 0,15 \)
D) \( 0,2 \)
E) \( 0,25 \)
\( p \equiv 1 \), \( q \equiv 0 \) ve \( r \equiv 1 \) olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1'dir?
A) \( p \land q \)B) \( q \lor r' \)
C) \( p \Rightarrow q \)
D) \( p \Leftrightarrow r \)
E) \( (p \lor q)' \)
Aşağıdaki bileşik önermenin en sade hali hangisidir?
\[ (p \(\lor\) q')' \(\lor\) q \]
B) \( 1 \)
C) \( p' \)
D) \( q \)
E) \( p \lor q \)
Aşağıda verilen bileşik önermenin doğruluk değeri 0'dır:
\[ p \(\Rightarrow\) (q \(\lor\) r) \(\equiv 0\) \]
Buna göre \( p, q \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( 1, 1, 0 \)
C) \( 0, 0, 0 \)
D) \( 1, 0, 1 \)
E) \( 0, 1, 0 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisine denktir?
\[ (p \(\Leftrightarrow\) p') \(\lor\) (q \(\Rightarrow\) q) \]
B) \( q \)
C) \( 0 \)
D) \( 1 \)
E) \( p' \)
Aşağıdaki bileşik önerme aşağıdakilerden hangisine daima denktir?
\[ [p \(\land\) (p \(\Rightarrow\) q)] \(\Rightarrow\) q \]
B) \( q \)
C) \( 0 \)
D) \( 1 \)
E) \( p' \land q \)
\( x \) ve \( y \) sayıları doğru orantılıdır.
\[ x \(= 6 \text{ iken }\) y \(= 18\) \] olduğuna göre, \( x = 10 \) iken \( y \) kaçtır?
B) \( 24 \)
C) \( 30 \)
D) \( 36 \)
E) \( 40 \)
\( a \) ve \( b \) sayıları ters orantılıdır.
\[ a \(= 4 \text{ iken }\) b \(= 12\) \] olduğuna göre, \( a = 6 \) iken \( b \) kaçtır?
B) \( 8 \)
C) \( 10 \)
D) \( 12 \)
E) \( 18 \)
\( x \) sayısı, \( (y + 2) \) ile doğru orantılı ve \( (z - 1) \) ile ters orantılıdır.
\[ x \(= 5\), y \(= 3 \text{ iken }\) z \(= 4\) \] olduğuna göre, \( x = 10 \) ve \( y = 8 \) iken \( z \) kaçtır?
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
Aynı kapasitedeki 6 işçi bir işi 20 günde bitirebilmektedir.
İşçi sayısı 8'e çıkarılırsa aynı iş kaç günde biter?
B) \( 15 \)
C) \( 16 \)
D) \( 18 \)
E) \( 24 \)
Bir aracın sabit hızla aldığı yol, geçen süre ile doğru orantılıdır.
Bu araç 3 saatte 240 km yol aldığına göre, aynı hızla 7 saatte kaç km yol alır?
B) \( 520 \)
C) \( 560 \)
D) \( 600 \)
E) \( 640 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/5625-9-sinif-ucgende-pisagor-ve-temel-benzerlik-test-coz-c5uy