✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Ters fonksiyon Test Çöz

SORU 1

\( f: \mathbb{R} - \{-4\} \to \mathbb{R} - \{2\} \) olmak üzere, tanımlı olduğu aralıkta verilen \( f(x) \) fonksiyonunun tersi olan \( f^{-1}(x) \) aşağıdakilerden hangisidir?

\[ f(x) \(= \frac{2x - 3}{x + 4}\) \]

A) \( \frac{4x + 3}{x - 2} \)
B) \( \frac{-4x - 3}{x - 2} \)
C) \( \frac{x + 4}{2x - 3} \)
D) \( \frac{4x - 3}{x + 2} \)
E) \( \frac{-4x + 3}{x + 2} \)
Açıklama:
\( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) biçimindeki rasyonel fonksiyonların tersi alınırken paydaki \( x \) 'li terimin katsayısı (\( a \)) ile paydadaki sabit terim (\( d \)) hem yer hem de işaret değiştirir. Kural: \[ f^{-1}(x) \(= \frac{-dx + b}{cx - a}\) \] Verilen \( f(x) = \frac{2x - 3}{x + 4} \) fonksiyonunda \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = 1 \) ve \( d = 4 \) değerleri yerlerine yazılırsa: \[ f^{-1}(x) \(= \frac{-4x - 3}{x - 2}\) \] elde edilir.
Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

10. Sınıf Matematik Ders Notları: Fonksiyonlar ve Sayma Yöntemleri

📌 Fonksiyon Kavramı ve Türleri

Fonksiyonlar, matematikte iki küme arasındaki ilişkiyi tanımlamak için kullanılır. Bir A kümesinden bir B kümesine tanımlanan f fonksiyonu, A kümesinin her elemanını B kümesinin yalnızca bir elemanıyla eşler. Fonksiyonlar, günlük hayatımızda birçok alanda karşımıza çıkar. Örneğin, bir ürünün fiyatı ile ağırlığı arasındaki ilişki, bir aracın hızı ile aldığı yol arasındaki ilişki birer fonksiyon örneğidir.

💡 Ters Fonksiyon

Bir f fonksiyonunun tersi, f⁻¹ ile gösterilir. Eğer f: A → B bir fonksiyonu birebir ve örten ise, f⁻¹: B → A fonksiyonu vardır. Bu fonksiyon, f fonksiyonunun eşlemelerini tersine çevirir. Yani, f(x) \(=\) y ise, f⁻¹(y) \(=\) x olur.

💡 Karekök Fonksiyonu

Karekök fonksiyonu, bir sayının karekökünü alan fonksiyondur. Genellikle \(f(x) = \sqrt{x}\) şeklinde gösterilir. Bu fonksiyonun tanım kümesi \(x \ge 0\) olan reel sayılardır ve değer kümesi de \(f(x) \ge 0\) olan reel sayılardır.

💡 Günlük Hayattan Fonksiyon Örnekleri

🚀 Sayma Yöntemleri

💡 Permütasyon

Permütasyon, bir kümedeki elemanların sıralanışlarını ifade eder. n elemanlı bir kümenin r elemanlı farklı sıralanışlarının sayısı \(P(n, r)\) veya \(nPr\) ile gösterilir ve formülü şöyledir:

\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

Örneğin, 3 farklı renkteki topun kaç farklı şekilde dizilebileceği permütasyon ile bulunur.

💡 Kombinasyon

Kombinasyon, bir kümedeki elemanların seçilme biçimlerini ifade eder, sıralama önemli değildir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı farklı alt kümelerinin sayısı \(C(n, r)\) veya \(\binom{n}{r}\) ile gösterilir ve formülü şöyledir:

\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

Örneğin, bir gruptan belirli sayıda kişi seçmek kombinasyon ile hesaplanır.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Ters Fonksiyon

Soru: \(f(x) = 3x - 5\) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle \(y = 3x - 5\) diyelim.

x'i yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim:

\(y + 5 = 3x\)

\(x = \frac{y + 5}{3}\)

Şimdi x ve y'nin yerini değiştirerek ters fonksiyonu elde ederiz:

\(f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}\)

Örnek 2: Permütasyon

Soru: 5 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir sıra kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm:

Bu soruda sıralama önemli olduğu için permütasyon kullanırız. n \(= 5\) ve r \(= 3\) 'tür.

\(P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60\)

Yani, 5 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir sıra 60 farklı şekilde oluşturulabilir.