📌 Eşlik ve Benzerlik Konu Özeti (9. Sınıf Matematik)
💡 Eşlik Nedir?
İki geometrik şeklin tüm karşılıklı kenar uzunlukları ve tüm karşılıklı açıları birbirine eşitse, bu iki şekle eş şekiller denir. Eşlik durumunda şekiller birebir aynıdır, sadece konumları veya yönleri farklı olabilir.
✅ Eş Üçgenler
İki üçgenin eş olabilmesi için karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri eşit olmalıdır. İki üçgenin eş olduğunu göstermek için tüm kenar ve açıları kontrol etmek yerine belirli eşlik kurallarını kullanabiliriz.
🚀 Eş Üçgen Olma Kuralları:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açı ölçüsü eşit ise, bu üçgenler eştir. Eğer \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\) ve \(\angle B = \angle E\) ise \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısının ölçüsü ve bu açılar arasındaki kenarın uzunluğu eşit ise, bu üçgenler eştir. Eğer \(\angle A = \angle D\), \(AC \cong DF\) ve \(\angle C = \angle F\) ise \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunluğu da eşit ise, bu üçgenler eştir. Eğer \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\) ve \(AC \cong DF\) ise \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir.
- Kenar-Kenar-Açı (KKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlardan uzun olanına ait olmayan açısının ölçüsü eşit ise, bu üçgenler eştir. (Bu kural daha az kullanılır ancak bilinmesi önemlidir.)
📝 Eşlik Sembolü
Eşlik, \(\cong\) sembolü ile gösterilir. Örneğin, \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) okunuşu "ABC üçgeni, DEF üçgenine eştir" şeklindedir. Bu gösterimde köşelerin sırası önemlidir. \(A\) köşesi \(D\) köşesine, \(B\) köşesi \(E\) köşesine ve \(C\) köşesi \(F\) köşesine karşılık gelir.
| Üçgen 1 | Üçgen 2 | Eşlik Kuralı |
|---|---|---|
| \(\triangle ABC\) | \(\triangle DEF\) | \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\), \(AC \cong DF\) (KKK) |
| \(\triangle ABC\) | \(\triangle DEF\) | \(AB \cong DE\), \(\angle B = \angle E\), \(BC \cong EF\) (KAK) |
| \(\triangle ABC\) | \(\triangle DEF\) | \(\angle A = \angle D\), \(AB \cong DE\), \(\angle B = \angle E\) (AKA) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: KKK Kuralı
Soru: Aşağıdaki iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir. Bu üçgenler eş midir? Eş ise hangi kurala göre eş olduklarını belirtiniz.
\(\triangle ABC\) 'nin kenar uzunlukları: \(AB = 5\) cm, \(BC = 7\) cm, \(AC = 9\) cm.
\(\triangle DEF\) 'nin kenar uzunlukları: \(DE = 5\) cm, \(EF = 7\) cm, \(DF = 9\) cm.
Çözüm: \(\triangle ABC\) 'nin kenar uzunlukları \(5, 7, 9\) cm'dir. \(\triangle DEF\) 'nin kenar uzunlukları da \(5, 7, 9\) cm'dir. Karşılıklı kenar uzunlukları (\(AB=DE\), \(BC=EF\), \(AC=DF\)) eşit olduğundan, bu iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralına göre eştir. Gösterim: \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\).
Örnek 2: KAK Kuralı
Soru: Verilen bilgilere göre \(\triangle PQR\) ve \(\triangle STU\) üçgenleri eş midir? Hangi kural geçerlidir?
\(\triangle PQR\): \(PQ = 6\) cm, \(\angle Q = 50^\circ\), \(QR = 8\) cm.
\(\triangle STU\): \(ST = 6\) cm, \(\angle T = 50^\circ\), \(TU = 8\) cm.
Çözüm: \(\triangle PQR\) 'de \(PQ\) kenarı ile \(\angle Q\) arasındaki ilişki ve \(QR\) kenarı verilmiştir. \(\triangle STU\) 'da ise \(ST\) kenarı ile \(\angle T\) arasındaki ilişki ve \(TU\) kenarı verilmiştir. \(PQ \cong ST\) (\(6\) cm), \(\angle Q = \angle T\) (\(50^\circ\)) ve \(QR \cong TU\) (\(8\) cm) olduğundan, ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüsü eşittir. Bu durum Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını sağlar. Dolayısıyla \(\triangle PQR \cong \triangle STU\) 'dur.
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olduğu bilinmektedir.
\( m(\widehat{A}) = 55^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 65^\circ \) olduğuna göre, \( m(\widehat{C}) \) kaç derecedir?
B) \( 60 \)
C) \( 65 \)
D) \( 70 \)
E) \( 75 \)
Bir \( ABC \) üçgeni ile \( DEF \) üçgeni arasında yapılan \( ABC \leftrightarrow DEF \) eşlemesinde Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik teoremine göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olduğu veriliyor.
\( |AB| = (3x - 2) \) cm ve \( |DE| = (x + 8) \) cm olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
\( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) eşliği veriliyor.
\( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm ve \( |AC| = 11 \) cm olduğuna göre, \( |KL| + |KM| \) toplamı kaç cm'dir?
B) \( 18 \)
C) \( 20 \)
D) \( 22 \)
E) \( 27 \)
\( ABC \) ve \( PRV \) üçgenlerinde; \( |AB| = |PR| \), \( |BC| = |RV| \) ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{R}) \) olduğu bilinmektedir.
\( m(\widehat{A}) = 2x + 10^\circ \) ve \( m(\widehat{P}) = x + 40^\circ \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
E) \( 40 \)
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olmak üzere;
\( |BC| = 12 \) cm, \( |DE| = 10 \) cm ve \( |DF| = 14 \) cm olarak veriliyor.
Buna göre, \( ABC \) üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
B) \( 32 \)
C) \( 34 \)
D) \( 36 \)
E) \( 38 \)
\( ABC \) ve \( DEF \) üçgenleri arasında \( ABC \cong DEF \) eşliği bulunmaktadır.
\[ |AB| \(= 3\) x \(- 7 \text{ ve }\) |DE| \(=\) x + 9 \] olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
\( ABC \) ve \( KLM \) üçgenleri için \( ABC \cong KLM \) olduğu bilinmektedir.
\[ m(\(\widehat{A}\)) \(= 55\) ^ \(\circ \text{ ve }\) m(\(\widehat{L}\)) \(= 65\) ^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( m(\widehat{C}) \) kaç derecedir?
B) \( 60 \)
C) \( 70 \)
D) \( 80 \)
E) \( 90 \)
\( PRV \cong YZ T \) eşliği verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \( |PR| = |ZT| \)B) \( |RV| = |YZ| \)
C) \( m(\widehat{P}) = m(\widehat{T}) \)
D) \( |PV| = |YT| \)
E) \( m(\widehat{R}) = m(\widehat{Y}) \)
\( ABC \cong DEF \) olduğu biliniyor. \( ABC \) üçgeninin çevresi \( 36 \) birimdir.
\[ |DE| \(= 10 \text{ birim ve }\) |EF| \(= 14 \text{ birim}\) \] olduğuna göre, \( |AC| \) kaç birimdir?
B) \( 12 \)
C) \( 14 \)
D) \( 16 \)
E) \( 18 \)
\( KLM \cong PRS \) eşliği veriliyor.
\[ m(\(\widehat{M}\)) \(= 3\) α - 15^ \(\circ \text{ ve }\) m(\(\widehat{S}\)) \(=\) α + 25^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( α \) kaç derecedir?
B) \( 15 \)
C) \( 20 \)
D) \( 25 \)
E) \( 30 \)
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olduğu bilinmektedir.
\[ m(\(\hat{A}\)) \(= 55\) ^ \(\circ \text{ ve }\) m(\(\hat{E}\)) \(= 65\) ^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( m(\hat{F}) \) kaç derecedir?
B) 60
C) 65
D) 70
E) 75
Bir \( ABC \) üçgeni ile \( LKM \) üçgeni arasında yapılan \( ABC \leftrightarrow LKM \) eşlemesinde \( \triangle ABC \cong \triangle LKM \) olduğu görülmüştür.
\[ |AB| \(=\) (2x + 3) \(\text{ cm, }\) |LK| \(= 11 \text{ cm ve }\) |BC| \(= 8 \text{ cm}\) \] olduğuna göre, \( x + |KM| \) toplamı kaçtır?
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinde \( |AB| = |DE| \), \( |AC| = |DF| \) ve \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) \) olduğu verilmiştir.
\[ |BC| \(=\) (3n - 5) \(\text{ cm ve }\) |EF| \(=\) (n + 7) \(\text{ cm}\) \] olduğuna göre, \( n \) değeri kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Bir \( ABC \) üçgeninde \( [AD] \) kenarortaydır. \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) olduğu bilindiğine göre;
\[ I. |AB| \(=\) |AC| \(\quad\) II. m(\(\hat{B}\)) \(=\) m(\(\hat{C}\)) \(\quad\) III. [AD] \(\perp\) [BC] \] ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
\( \triangle ABC \cong \triangle PRS \) eşliği veriliyor. Bu iki üçgenin çevreleri toplamı 48 cm'dir.
\[ |AB| \(= 6 \text{ cm ve }\) |RS| \(= 10 \text{ cm}\) \] olduğuna göre, \( |AC| \) kaç cm'dir?
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) eşliği veriliyor. \(m(\widehat{A}) = 55^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = 65^\circ\) olduğuna göre, \(F\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \( 50 \)B) \( 55 \)
C) \( 60 \)
D) \( 65 \)
E) \( 70 \)
\(\triangle KLM \cong \triangle PRS\) olduğu biliniyor. Kenar uzunlukları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
\[ |KL| \(= 2\) x \(- 4 \text{ cm}\), \(\quad\) |PR| \(= 12 \text{ cm}\), \(\quad\) |KM| \(= 15 \text{ cm}\), \(\quad\) |PS| \(=\) y \(+ 3 \text{ cm}\) \] Buna göre \(x + y\) toplamı kaçtır?
B) \( 20 \)
C) \( 22 \)
D) \( 24 \)
E) \( 26 \)
\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) eşliği verildiğine göre, \(ABC\) üçgeninin çevresi 30 cm, \(|AB| = 8\) cm ve \(|DF| = 12\) cm ise \(|BC|\) kaç cm'dir?
A) \( 8 \)B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 14 \)
E) \( 16 \)
\(\triangle ABC \cong \triangle KML\) eşliği veriliyor. \(m(\widehat{A}) = 50^\circ\) ve \(m(\widehat{L}) = 60^\circ\) olduğuna göre, \(B\) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \( 50 \)B) \( 60 \)
C) \( 70 \)
D) \( 80 \)
E) \( 90 \)
\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) eşliğinde, \(C\) ve \(F\) açılarının ölçüleri şu şekildedir:
\[ m(\(\widehat{C}\)) \(= 4\) x - 20^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{F}\)) \(= 2\) x + 10^ \(\circ\) \] Buna göre \(x\) değeri kaçtır?
B) \( 15 \)
C) \( 20 \)
D) \( 25 \)
E) \( 30 \)
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olduğu biliniyor.
\[ m(\(\widehat{A}\)) \(= 55\) ^ \(\circ \text{ ve }\) m(\(\widehat{E}\)) \(= 65\) ^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( m(\widehat{C}) \) kaç derecedir?
B) \( 55 \)
C) \( 60 \)
D) \( 65 \)
E) \( 70 \)
Bir \( ABC \) üçgeni ile \( KLM \) üçgeni arasında yapılan \( ABC \leftrightarrow LMK \) eşlemesine göre \( \triangle ABC \cong \triangle LMK \) olduğu veriliyor.
\[ |AB| \(=\) (2x - 3) \(\text{ cm, }\) |LM| \(= 11 \text{ cm ve }\) |BC| \(=\) (y + 2) \(\text{ cm, }\) |MK| \(= 8 \text{ cm}\) \] olduğuna göre, \( x + y \) toplamı kaçtır?
B) \( 13 \)
C) \( 15 \)
D) \( 17 \)
E) \( 19 \)
\( \triangle PRV \cong \triangle YZS \) olduğu biliniyor.
\[ |PR| \(= 10 \text{ cm, }\) |RS| \(\text{ verilmemiş, }\) |YZ| \(=\) (3a - 2) \(\text{ cm ve }\) |ZS| \(= 12 \text{ cm}\) \] olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
\( ABCD \) bir kare ve \( E \in [BC] \), \( F \in [CD] \) noktaları için \( \triangle ABE \cong \triangle ADF \) olduğu veriliyor.
\[ m(\(\widehat{BAE}\)) \(= 20\) ^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( m(\widehat{EAF}) \) kaç derecedir?
B) \( 50 \)
C) \( 60 \)
D) \( 70 \)
E) \( 80 \)
İki üçgenin eşliği ile ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
A) Alanları eşit olan her iki üçgen eştir.B) İkişer açısı eşit olan her iki üçgen eştir.
C) Karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgenler eştir.
D) Çevreleri eşit olan her iki üçgen eştir.
E) Birer kenarı ve birer açısı eşit olan üçgenler eştir.
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/5932-9-sinif-eslik-test-coz-9w8x