✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

10. Sınıf Permütasyon Test Çöz

SORU 1

Aralarında Ali ve Ayşe'nin de bulunduğu 6 kişilik bir grup yan yana bir sıra halinde dizilecektir.

Ali ve Ayşe'nin daima yan yana olması koşuluyla bu grup kaç farklı şekilde sıralanabilir?

A) \( 120 \)
B) \( 240 \)
C) \( 480 \)
D) \( 600 \)
E) \( 720 \)
Açıklama:
Ali ve Ayşe'yi tek bir kişi (bir nesne) gibi kabul edelim. Bu durumda geriye kalan 4 kişi ile birlikte toplam \( 5 \) nesne olur. Bu \( 5 \) nesnenin kendi aralarındaki sıralanışı: \[ 5! \(= 120\) \] farklı şekildedir. Ayrıca yan yana olan Ali ve Ayşe de kendi aralarında \( 2! = 2 \) farklı şekilde yer değiştirebilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam diziliş sayısı: \[\(120 \times 2 = 240\) \] olarak bulunur.
Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

10. Sınıf Matematik - 1. Dönem Tekrar Notları

Temel Kavramlar ve Kombinatorik

Bu ünitede, sayma prensipleri, permütasyon ve tekrarlı permütasyon konularını derinlemesine inceleyeceğiz. Bu konular, olasılık ve diğer birçok matematiksel problemde temel oluşturur.

Permütasyon

Permütasyon, bir kümedeki elemanların sıralanışlarını ifade eder. \(n\) farklı elemanlı bir kümenin \(r\) elemanlı permütasyonlarının sayısı \(P(n, r)\) ile gösterilir ve formülü şöyledir:

\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

Özellikle \(n\) farklı elemanın tamamı ile permütasyonları \(P(n, n) = n!\) olarak hesaplanır.

Tekrarlı Permütasyon

Tekrarlı permütasyon, bir kümede tekrarlanan elemanlar olduğunda elemanların farklı sıralanışlarını bulmak için kullanılır. \(n\) elemanlı bir dizilimde, \(n_1\) tane \(a_1\), \(n_2\) tane \(a_2\), ..., \(n_k\) tane \(a_k\) tekrar ediyorsa (burada \(n_1 + n_2 + ... + n_k = n\)), bu dizilimlerin sayısı:

$ \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \) \(

şeklinde hesaplanır.

Analitik Geometri

Analitik geometride, noktaların koordinatlarını kullanarak geometrik şekillerin özelliklerini inceleriz. Bu bölümde uzaklık, eğim ve belli bir oranda bölen nokta kavramlarına odaklanacağız.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Koordinatları \) A(x_1, y_1) \( ve \) B(x_2, y_2) \( olan iki nokta arasındaki uzaklık \) d \( şu formülle bulunur:

\) d \(= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) \(

Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun eğimi, \) m \( ile gösterilir ve doğrunun \) x \( ekseniyle yaptığı pozitif açının tanjantına eşittir. \) A(x_1, y_1) \( ve \) B(x_2, y_2) \( noktalarından geçen doğrunun eğimi:

\) m \(= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) \(

💡 Önemli Not: Yatay doğruların eğimi \) 0 \(, dikey doğruların eğimi ise tanımsızdır.

Belli Bir Oranda Bölen Nokta

A(x_1, y_1) ve B(x_2, y_2) noktalarını birleştiren doğru parçasını \) k_1:k_2 \( oranında içten bölen \) C(x, y) \( noktasının koordinatları:

\) x \(= \frac{k_2 x_1 + k_1 x_2}{k_1 + k_2}\) \(

\) y \(= \frac{k_2 y_1 + k_1 y_2}{k_1 + k_2}\) \(

📌 Bu formüller, doğru parçasının belirli bir oranda bölünmesi gereken problemler için çok kullanışlıdır.

Özet Tablo

Konu Formül/Kural Açıklama
Permütasyon \) P(n, r) \(= \frac{n!}{(n-r)!}\) \( \) n \( farklı elemanın \) r \( li sıralanışı
Tekrarlı Permütasyon \) \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \) \( Tekrar eden elemanlar varlığında sıralanış
Uzaklık \) d \(= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) \( İki nokta arasındaki mesafe
Eğim \) m \(= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) \( Doğrunun x ekseniyle yaptığı açı
Belli Oranda Bölen Nokta \) x \(= \frac{k_2 x_1 + k_1 x_2}{k_1 + k_2}\) \(
\) y \(= \frac{k_2 y_1 + k_1 y_2}{k_1 + k_2}\) \(		 Doğru parçasını içten bölen nokta

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

  1. Soru 1: 5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bir rafta dizilecektir. Matematik kitapları yan yana olmak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?

    Çözüm:

    Öncelikle 5 matematik kitabını tek bir blok olarak düşünelim. Bu blok ile 3 fizik kitabını (\) M_1, M_2, M_3, M_4, M_5 \( ve \) F_1, F_2, F_3 \() sıralayacağız. Bu durumda \) \(1+3 = 4\) \( nesne sıralanmış olur. Bu 4 nesne \) 4! \( şekilde sıralanır. Ayrıca kendi içinde 5 matematik kitabı da \) 5! \( şekilde yer değiştirebilir. Dolayısıyla toplam diziliş sayısı:

    \) 4! \(\times 5\)! \(= 24 \times 120 = 2880\) \( farklı şekilde dizilebilirler.

  2. Soru 2: A(-2, 1) ve B(4, 7) noktalarını birleştiren doğru parçasını \) 1:2 \( oranında içten bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz.

    Çözüm:

    Burada \) x_ \(1 = -2\) \(, \) y_ \(1 = 1\) \(, \) x_ \(2 = 4\) \(, \) y_ \(2 = 7\) \( ve oran \) k_1:k_ \(2 = 1\):2 \('dir. Formülleri uygulayalım:

    \) x \(= \frac{k_2 x_1 + k_1 x_2}{k_1 + k_2} = \frac{2(-2) + 1(4)}{1 + 2} = \frac{-4 + 4}{3} = \frac{0}{3} = 0\) \(

    \) y \(= \frac{k_2 y_1 + k_1 y_2}{k_1 + k_2} = \frac{2(1) + 1(7)}{1 + 2} = \frac{2 + 7}{3} = \frac{9}{3} = 3\) \(

    C noktasının koordinatları \) (0, 3)$'tür.

🚀 Başarılar dilerim!