Açılar ve Temel Kavramlar
Merhaba sevgili 9. Sınıf öğrencileri! Bu çalışmamızda, matematik dersinin temel taşlarından biri olan Açılar konusunu derinlemesine inceleyeceğiz. Açılar, geometrinin ve günlük hayatımızın vazgeçilmez bir parçasıdır. Bu notlarda, doğruda açılar ve üçgende açılar arasındaki ilişkileri ve temel kuralları öğreneceğiz. Hazırsanız, matematiksel yolculuğumuza başlayalım! 🚀
Doğruda Açılar
Bir doğru üzerinde oluşan açılar, toplamları \(180^\circ\) olan özel açılardır. Bu açılar, komşu açılar, tümler açılar ve bütünler açılar olarak karşımıza çıkar.
- Komşu Açılar: Birer ışınları ve köşeleri ortak olan açılardır.
- Tümler Açılar: Toplamları \(90^\circ\) olan iki açıya denir. Eğer bir açının ölçüsü \( α \) ise, tümleri \( 90^\circ - α \) olur.
- Bütünler Açılar: Toplamları \(180^\circ\) olan iki açıya denir. Eğer bir açının ölçüsü \( \beta \) ise, bütünleri \( 180^\circ - \beta \) olur.
📌 İki doğru kesiştiğinde oluşan açılarda, ters açılar birbirine eşittir. Eğer kesişen doğrular arasında oluşan açılardan biri \( \gamma \) ise, ters açısı da \( \gamma \) olur.
Üçgende Açılar
Üçgenler, iç açıları toplamı her zaman \(180^\circ\) olan temel geometrik şekillerdir. Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri sırasıyla \( \angle A \), \( \angle B \) ve \( \angle C \) ise, aşağıdaki kural geçerlidir:
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
💡 Üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Eğer \( \angle A \) açısının dış açısı \( \angle A_{dış} \) ise, \( \angle A_{dış} = \angle B + \angle C \) olur.
Açı Çeşitleri ve Özellikleri
Açıları ölçülerine göre sınıflandırabiliriz:
- Dar Açı: Ölçüsü \(0^\circ\) ile \(90^\circ\) arasında olan açılar. (\( 0^\circ < \theta < 90^\circ \))
- Dik Açı: Ölçüsü tam olarak \(90^\circ\) olan açı.
- Geniş Açı: Ölçüsü \(90^\circ\) ile \(180^\circ\) arasında olan açılar. (\( 90^\circ < \phi < 180^\circ \))
- Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak \(180^\circ\) olan açı.
- Tam Açı: Ölçüsü tam olarak \(360^\circ\) olan açı.
Önemli Formüller ve Kurallar Tablosu
| Kavram | Açıklama | Formül/Kural |
|---|---|---|
| Bütünler Açılar | Toplamları \(180^\circ\) | \( α + \beta = 180^\circ \) |
| Tümler Açılar | Toplamları \(90^\circ\) | \( α + \beta = 90^\circ \) |
| Ters Açılar | Kesişen doğruların oluşturduğu zıt açılar | \( α = \beta \) |
| Üçgen İç Açıları Toplamı | Bir üçgenin iç açılarının toplamı | \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) |
| Üçgen Dış Açı | Kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamı | \( \angle A_{dış} = \angle B + \angle C \) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Bütünler Açılar
Birbirini bütünleyen iki açıdan biri, diğerinin \(2\) katından \(30^\circ\) fazladır. Bu iki açının ölçülerini bulunuz.
Çözüm:
Bütünler iki açı olduğundan, toplamları \(180^\circ\) olmalıdır. Açılardan birine \( x \) dersek, diğeri \( 2x + 30^\circ \) olur.
Denklemimiz: \( x + (2x + 30^\circ) = 180^\circ \)
\( 3x + 30^\circ = 180^\circ \)
\( 3x = 180^\circ - 30^\circ \)
\( 3x = 150^\circ \)
\( x = \frac{150^\circ}{3} \)
\( x = 50^\circ \)
Birinci açı: \( x = 50^\circ \)
İkinci açı: \( 2x + 30^\circ = 2(50^\circ) + 30^\circ = 100^\circ + 30^\circ = 130^\circ \)
Kontrol: \( 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ \). ✅
Örnek 2: Üçgende Açılar
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 70^\circ \) ve \( \angle B = 50^\circ \) ise, \( \angle C \) kaç derecedir?
Çözüm:
Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan:
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( 70^\circ + 50^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \angle C = 60^\circ \)
Bu üçgende \( \angle C \) açısı \( 60^\circ \) olarak bulunur. ✅
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularını kesen bir \( d_3 \) doğrusunun oluşturduğu iç ters açıların ölçüleri aşağıda verilmiştir:
\[ (3x - 20)^ \(\circ \text{ ve }\) (x + 40)^ \(\circ\) \]
Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
E) \( 40 \)
Tümler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün \( 4 \) katından \( 10^\circ \) eksiktir. Buna göre büyük olan açının ölçüsü kaç derecedir?
A) \( 20 \)B) \( 40 \)
C) \( 60 \)
D) \( 70 \)
E) \( 80 \)
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında kalan ve aynı yöne bakan açıların toplamının zıt yöne bakan açıya eşit olduğu (M kuralı) bir durumda, sola bakan açıların ölçüleri \( 35^\circ \) ve \( 45^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki açının arasında kalan ve sağa bakan \( α \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
B) \( 70 \)
C) \( 80 \)
D) \( 90 \)
E) \( 100 \)
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularını kesen bir \( d_3 \) doğrusunun oluşturduğu iç ters açıların ölçüleri \( 3x - 20^\circ \) ve \( x + 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre \( x \) kaç derecedir?
B) \( 30 \)
C) \( 40 \)
D) \( 50 \)
E) \( 60 \)
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında bir "M" kuralı (zikzak) oluşmaktadır. Sola bakan açıların ölçüleri \( 35^\circ \) ve \( x \), sağa bakan açının ölçüsü ise \( 85^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre \( x \) açısı kaç derecedir?
B) \( 45 \)
C) \( 50 \)
D) \( 55 \)
E) \( 60 \)
Birbirine paralel iki doğru arasında kalan ve aynı tarafa bakan (karşı durumlu) iki açının ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) 'dir. Bu açılardan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün \( 3 \) katından \( 20^\circ \) fazladır.
Buna göre küçük olan açının ölçüsü kaç derecedir?
B) \( 40 \)
C) \( 45 \)
D) \( 50 \)
E) \( 60 \)
Bir ABC üçgeninde B ve C açılarının iç açıortayları bir D noktasında kesişmektedir.
\[ m(\(\widehat{BAC}\)) \(= 80\) ^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( m(\widehat{BDC}) \) kaç derecedir?
B) \( 110^\circ \)
C) \( 120^\circ \)
D) \( 130^\circ \)
E) \( 140^\circ \)
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ve \( |BD| = |AD| \) olacak şekilde \( [BC] \) kenarı üzerinde bir D noktası belirleniyor.
\[ m(\(\widehat{DAC}\)) \(= 30\) ^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( m(\widehat{ABC}) \) kaç derecedir?
B) \( 50^\circ \)
C) \( 60^\circ \)
D) \( 70^\circ \)
E) \( 80^\circ \)
Bir ABC üçgeninde B açısına ait iç açıortay ile C açısına ait dış açıortay bir D noktasında kesişmektedir.
\[ m(\(\widehat{BDC}\)) \(= 35\) ^ \(\circ\) \] olduğuna göre, \( m(\widehat{BAC}) \) kaç derecedir?
B) \( 55^\circ \)
C) \( 70^\circ \)
D) \( 90^\circ \)
E) \( 110^\circ \)
Bütünler iki açının ölçüleri oranı \( \frac{2}{7} \) olarak verilmiştir. Buna göre, büyük açının ölçüsü küçük açının ölçüsünden kaç derece fazladır?
\[\(\text{Oran} = \frac{2}{7}\) \]
B) \( 80 \)
C) \( 100 \)
D) \( 120 \)
E) \( 140 \)
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri \( 2 \), \( 3 \) ve \( 5 \) sayıları ile doğru orantılıdır. Bu üçgenin en büyük dış açısının ölçüsü kaç derecedir?
\[ 2k + 3k + 5k \(= 180\) ^ \(\circ\) \]
B) \( 126 \)
C) \( 135 \)
D) \( 144 \)
E) \( 150 \)
Birbirine paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( 3x - 15^\circ \), diğeri ise \( x + 25^\circ \) olarak ölçülmüştür. Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
\[ 3x \(- 15 =\) x + 25 \]
B) \( 15 \)
C) \( 20 \)
D) \( 25 \)
E) \( 30 \)
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları bir \( d_3 \) doğrusu ile kesilmektedir. Oluşan yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( 4x - 10^\circ \), diğerinin ölçüsü ise \( 2x + 40^\circ \) olduğuna göre \( x \) kaçtır?
\[ 4x \(- 10 = 2\) x + 40 \]
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
E) \( 40 \)
Bir açının bütünler açısının ölçüsü, tümler açısının ölçüsünün \( 3 \) katından \( 10^\circ \) fazladır. Buna göre bu açının ölçüsü kaç derecedir?
\[ 180 - x \(= 3\) (90 - x) + 10 \]
B) \( 45 \)
C) \( 50 \)
D) \( 55 \)
E) \( 60 \)
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları arasında bir "M" kuralı oluşmuştur. Sola bakan açıların ölçüleri \( 35^\circ \) ve \( 45^\circ \) olduğuna göre, bu iki açının arasında kalan ve sağa bakan \( α \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
\[ α \(= 35\) ^ \(\circ + 45\) ^ \(\circ\) \]
B) \( 75 \)
C) \( 80 \)
D) \( 85 \)
E) \( 90 \)
Bir \( ABC \) üçgeninin iç açılarının ölçüleri sırasıyla \( 2x+10^\circ \), \( 3x-20^\circ \) ve \( x+40^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
\[ (2x+10^ \(\circ\)) + (3x-20^ \(\circ\)) + (x+40^ \(\circ\)) \(= 180\) ^ \(\circ\) \]
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
E) \( 40 \)
Bir \( ABC \) üçgeninde \( A \) açısının ölçüsü \( 55^\circ \) ve \( B \) köşesine ait dış açının ölçüsü \( 115^\circ \) olduğuna göre, \( C \) iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
\[ m(\(\widehat{A}\)) + m(\(\widehat{C}\)) \(=\) m(\(\widehat{B}\) _{ \(\text{dış}\) }) \]
B) \( 55 \)
C) \( 60 \)
D) \( 65 \)
E) \( 70 \)
Bir ikizkenar üçgende tepe açısının ölçüsü, taban açılarından birinin ölçüsünün \( 4 \) katına eşittir. Bu üçgenin tepe açısı kaç derecedir?
\[\(\text{Tepe Açısı} = 4 \cdot \text{Taban Açısı}\) \]
B) \( 60 \)
C) \( 90 \)
D) \( 120 \)
E) \( 150 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6110-9-sinif-acilar-test-coz-0d8y