Köklü Sayılar: Temel Kavramlar ve İşlemler
1. Kareköklü Sayılar
Bir sayının karekökü, karesi kendisine eşit olan sayıdır. Karekök sembolü \(\sqrt{}\) ile gösterilir.
- \(\,\sqrt{a} = b \implies b^2 = a\)
- \(\,\sqrt{16} = 4\) çünkü \(4^2 = 16\)
- \(\,\sqrt{0} = 0\)
- \(\,\sqrt{1} = 1\)
Not: Negatif bir sayının reel sayılarda karekökü yoktur. Örneğin, \(\,\sqrt{-4}\) reel sayı değildir.
2. n. Dereceden Kökler
Bir sayının \(n\). dereceden kökü, \(n\). kuvveti kendisine eşit olan sayıdır. \(\sqrt[n]{a} = b \implies b^n = a\) şeklinde gösterilir.
- \(\,\sqrt[3]{8} = 2\) çünkü \(2^3 = 8\)
- \(\,\sqrt[3]{-27} = -3\) çünkü \((-3)^3 = -27\)
- \(\,\sqrt[4]{16} = 2\) çünkü \(2^4 = 16\)
Önemli Bilgiler:
- Tek dereceli kökler her reel sayının alınabilir (pozitif, negatif veya sıfır).
- Çift dereceli kökler sadece pozitif reel sayıların veya sıfırın alınabilir.
3. Köklü Sayıların Özellikleri
Köklü sayılarla işlemler yaparken aşağıdaki özellikler önemlidir:
- Çarpma: \(\,\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\)
- Bölme: \(\,\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) (\(b eq 0\))
- Kuvvet Alma: \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)
- Kökün Kökü: \(\,\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\)
- Sadeleştirme: \(\,\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n/k]{a^{m/k}}\) ( \(k\) bir pozitif tam sayıdır)
İçeri alma/dışarı çıkarma:
- \(a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}\) ( \(a \ge 0\) ise)
- \(\,\sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \sqrt[n]{b}\) ( \(a \ge 0\) ve \(n\) çift ise veya \(n\) tek ise her zaman)
4. Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için köklerin dereceleri ve içleri aynı olmalıdır. Bu durumda katsayılar toplanır veya çıkarılır.
- \(\,a \sqrt[n]{x} + b \sqrt[n]{x} = (a+b) \sqrt[n]{x}\)
- \(\,a \sqrt[n]{x} - b \sqrt[n]{x} = (a-b) \sqrt[n]{x}\)
Örnek: \(\,3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
Örnek: \(\,7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (7-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
5. Köklü Sayılarda Paydayı Rasyonel Yapma
Bir kesrin paydasındaki köklü ifadeyi yok etme işlemine paydayı rasyonel yapma denir. Bunun için payda ile eşlenik olan ifade çarpılır.
- \(\,\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}\)
- \(\,\frac{a}{c+\sqrt{b}} = \frac{a \cdot (c-\sqrt{b})}{(c+\sqrt{b})(c-\sqrt{b})} = \frac{a(c-\sqrt{b})}{c^2-b}\)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1:
\(\,\sqrt{72} + \sqrt{50} - \sqrt{18}\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm 1:
Öncelikle kökleri sadeleştirelim:
- \(\,\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)
- \(\,\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
- \(\,\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
Şimdi bu değerleri yerine koyalım:
\(\,6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (6+5-3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
Cevap: \(\,8\sqrt{2}\)
Soru 2:
\(\,\frac{6}{\sqrt{3}}\) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.
Çözüm 2:
Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı \(\,\sqrt{3}\) ile çarparız:
\(\,\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}\)
Sadeleştirirsek:
\(\,\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)
Cevap: \(\,2\sqrt{3}\)
İşleminin sonucu kaçtır?
\[\(\sqrt{75} - \sqrt{27} + \sqrt{12}\) \]
B) \( 3\sqrt{3} \)
C) \( 4\sqrt{3} \)
D) \( 5\sqrt{3} \)
E) \( 6\sqrt{3} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac\) { \(\sqrt{0,16} + \sqrt{0,04}\) }{ \(\sqrt{0,36}\) } \]
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
D) \( 4 \)
E) \( 5 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\sqrt\) { \(13 + \sqrt\) { \(7 + \sqrt{4}\) }} \]
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
İşleminin sonucu kaçtır?
\[\(\frac{6}\) { \(\sqrt{3}\) } \(- \sqrt{12}\) \]
B) \( 0 \)
C) \( \sqrt{3} \)
D) \( 2\sqrt{3} \)
E) \( 4\sqrt{3} \)
Aşağıdaki eşitliği sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[\(\sqrt\) [3]{2^{x-1}} \(= 4\) \]
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
Aşağıdaki işleminin sonucu kaçtır?
\[\(\sqrt{75} - \sqrt{27} + \sqrt{12}\) \]
B) \( 4\sqrt{3} \)
C) \( 5\sqrt{3} \)
D) \( 6\sqrt{3} \)
E) \( 7\sqrt{3} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac\) { \(\sqrt{0,64} + \sqrt{0,36}\) }{ \(\sqrt{0,04}\) } \]
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
İşleminin sonucu kaçtır?
\[\(\sqrt\) [3]{ \(\sqrt{64}\) } \]
B) \( 2 \)
C) \( 4 \)
D) \( 8 \)
E) \( 16 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac{6}\) { \(\sqrt{3}\) } \(- \sqrt{12}\) \]
B) \( \sqrt{3} \)
C) \( 2\sqrt{3} \)
D) \( 3\sqrt{3} \)
E) \( 6 \)
\( x \) bir gerçek sayı olmak üzere, aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[\(\sqrt\) {2^{x+3}} \(= 16\) \]
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6451-9-sinif-koklu-sayilar-test-coz-yoyk