TYT Geometri: Üçgenler Kampı 🚀
Temel Kavramlar ve Tanımlar 📌
Üçgenler, geometrinin temel taşlarından biridir. Üç doğru parçasının birleşmesiyle oluşan kapalı şekillere üçgen denir. Bir üçgenin 3 kenarı ve 3 köşesi vardır. Köşeleri genellikle büyük harflerle (\(A, B, C\)) ve kenarları bu köşelerin karşısındaki küçük harflerle (\(a, b, c\)) gösterilir. Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \(180^\circ\)'dir.
- Kenarlarına Göre Üçgenler:
- Eşkenar Üçgen: Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgendir. Tüm iç açıları da birbirine eşittir ve her biri \(60^\circ\) 'dir.
- İkizkenar Üçgen: İki kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.
- Çeşitkenar Üçgen: Tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgendir. Tüm iç açıları da birbirinden farklıdır.
- Açılarına Göre Üçgenler:
- Dar Açı Üçgen: Tüm iç açıları \(90^\circ\) 'den küçük olan üçgendir.
- Dik Üçgen: Bir iç açısı \(90^\circ\) olan üçgendir. \(90^\circ\) 'lik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenarlar denir. Pisagor teoremi (\(a^2 + b^2 = c^2\)) dik üçgenler için geçerlidir.
- Geniş Açı Üçgen: Bir iç açısı \(90^\circ\) 'den büyük olan üçgendir.
Temel Üçgen Eşitsizlikleri 💡
Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkından ise büyüktür. Eğer bir üçgenin kenar uzunlukları \(a, b, c\) ise:
\(|b - c| < a < b + c\)
\(|a - c| < b < a + c\)
\(|a - b| < c < a + b\)
Bu eşitsizlikler, verilen üç kenar uzunluğu ile bir üçgenin çizilip çizilemeyeceğini belirlemek için kullanılır. ✅
Önemli Yardımcı Elemanlar
- Açıortay: Bir köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır.
- Kenarortay: Bir kenarın orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasıdır.
- Yükseklik: Bir kenara (veya uzantısına) o kenarın karşısındaki köşeden indirilen dikme doğrusudur.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Kenar Uzunlukları
Bir \(ABC\) üçgeninde \(a = 8\) cm ve \(b = 12\) cm'dir. Buna göre \(c\) kenarının alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?
Çözüm: Üçgen eşitsizliğini kullanırız. \(c\) kenarı için:\(|a - b| < c < a + b\)
\(|8 - 12| < c < 8 + 12\)
\(4 < c < 20\)
\(c\) 'nin alabileceği tam sayılar \(5, 6, ..., 19\) 'dur. Bu ardışık sayılar toplamı için formül kullanabiliriz: \(\frac{(ilk + son) \times (terim sayısı)}{2}\). Terim sayısı \(19 - 5 + 1 = 15\) 'tir. Toplam \(=\) \(\frac{(5 + 19) \times 15}{2} = \frac{24 \times 15}{2} = 12 \times 15 = 180\).
Örnek 2: Açıların Toplamı
Bir \(ABC\) üçgeninde \(m(\hat{A}) = 70^\circ\) ve \(m(\hat{B}) = 50^\circ\) 'dir. Buna göre \(m(\hat{C})\) kaç derecedir?
Çözüm: Üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) 'dir.\(m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ\)
\(70^\circ + 50^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ\)
\(120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ\)
\(m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Bir ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri aşağıda verilmiştir:
\[ m(\(\widehat{A}\)) \(= 2\) x + 10^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{B}\)) \(= 3\) x - 20^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{C}\)) \(=\) x + 40^ \(\circ\) \] Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
B) 30
C) 35
D) 45
ABC bir dik üçgen, \( [AB] \perp [BC] \), \( |AB| = 5 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm'dir.
\[ |AC| \(=\) x \] Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
B) 28
C) 30
D) 34
Bir üçgenin iki kenar uzunluğu 6 cm ve 9 cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenar uzunluğu olan \( x \) bir tam sayıdır.
\[ |9 - 6| < x < 9 + 6 \] Buna göre \( x \) 'in alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin farkı kaçtır?
B) 10
C) 11
D) 12
Bir \( ABC \) üçgeninin iç açılarının ölçüleri \( x \) cinsinden aşağıda verilmiştir:
\[ m(\(\widehat{A}\)) \(= 2\) x + 10^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{B}\)) \(= 3\) x - 20^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{C}\)) \(=\) x + 40^ \(\circ\) \] Buna göre \( x \) kaç derecedir?
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \) olduğu bilinmektedir. Kenar uzunlukları ise şu şekildedir:
\[ |AB| \(= 8 \text{ cm}\), \(\quad\) |BC| \(= 15 \text{ cm}\) \] Buna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( |AC| \) kaç cm'dir?
B) \( 16 \)
C) \( 17 \)
D) \( 20 \)
Kenar uzunlukları \( 7 \) cm ve \( 10 \) cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu \( x \) tam sayısıdır.
\[ |10 - 7| < x < 10 + 7 \] Buna göre, \( x \) 'in alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?
B) \( 20 \)
C) \( 22 \)
D) \( 24 \)
Bir \( ABC \) üçgeninde iç açıların ölçüleri aşağıda verilmiştir:
\[ m(\(\widehat{A}\)) \(= 2\) x + 10^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{B}\)) \(= 3\) x - 20^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{C}\)) \(=\) x + 40^ \(\circ\) \] Buna göre \( x \) kaç derecedir?
B) 25
C) 30
D) 35
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \) olduğu bilinmektedir. Kenar uzunlukları:
\[ |AB| \(= 8 \text{ birim ve }\) |AC| \(= 17 \text{ birim}\) \] olduğuna göre, \( |BC| \) uzunluğu kaç birimdir?
B) 13
C) 15
D) 16
Bir \( ABC \) üçgeninde kenar uzunlukları ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü şu şekildedir:
\[ |AB| \(= 6 \text{ birim, }\) |BC| \(= 10 \text{ birim ve }\) m(\(\widehat{ABC}\)) \(= 30\) ^ \(\circ\) \] Buna göre, \( ABC \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
B) 20
C) 25
D) 30
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( |AB| = 7 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, \( |BC| = x \) uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?
A) 18B) 20
C) 21
D) 22
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{ABC}) = 45^\circ \), \( m(\widehat{ACB}) = 30^\circ \) ve \( |AB| = 6\sqrt{2} \) cm olduğuna göre, \( |AC| = x \) kaç cm'dir?
A) 10B) 12
C) \( 6\sqrt{3} \)
D) \( 12\sqrt{2} \)
Bir ABC dik üçgeninde \( [AB] \perp [AC] \) dikliği verilmiştir. Hipotenüs uzunluğu \( |BC| = 17 \) cm ve dik kenarlardan biri \( |AB| = 8 \) cm'dir. Buna göre, diğer dik kenar olan \( |AC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
A) 12B) 13
C) 15
D) 16
Bir \( ABC \) üçgeninde iç açıların ölçüleri \( x \) cinsinden şu şekilde verilmiştir:
\[ m(\(\widehat{A}\)) \(= 2\) x + 10^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{B}\)) \(= 3\) x - 20^ \(\circ\), \(\quad\) m(\(\widehat{C}\)) \(=\) x + 40^ \(\circ\) \] Buna göre \( x \) kaç derecedir?
B) \( 25 \)
C) \( 30 \)
D) \( 35 \)
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \) ve \( m(\widehat{ACB}) = 30^\circ \) olarak verilmiştir.
\[ |AC| \(= 12 \text{ cm}\) \] olduğuna göre, \( |AB| \) uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( 6 \)
C) \( 6\sqrt{3} \)
D) \( 8 \)
Bir \( ABC \) üçgeninde \( BC \) kenarının uzunluğu \( 10 \) cm ve bu kenara ait yüksekliğin uzunluğu \( 8 \) cm'dir.
\[ |BC| \(= 10 \text{ cm}\), \(\quad\) h_a \(= 8 \text{ cm}\) \] Buna göre, bu üçgenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) 'dir?
B) \( 35 \)
C) \( 40 \)
D) \( 80 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6476-tyt-ucgenler-test-coz-4a9v