📌 10. Sınıf Matematik: Geniş Açılı Trigonometrik Değerler
Sevgili 10. Sınıf öğrencileri, bu çalışma notumuzda \(90^\circ\) ile \(180^\circ\) arasındaki geniş açılı trigonometrik oranların işaretlerini ve indirgeme kurallarını öğreneceğiz. İkinci bölgede (II. Bölge) yer alan bu açılar için trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulurken bütünler açılardan yararlanırız.
💡 İkinci Bölgede İşaretler
Koordinat sisteminde II. bölgede \(x\) ekseni negatif \((-)\), \(y\) ekseni pozitiftir \((+)\). Buna göre trigonometrik fonksiyonların bu bölgedeki işaretleri şöyledir:
- Sinüs: \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) için \(\sin(\theta) > 0\) (Pozitiftir).
- Kosinüs: \(\cos(\theta) < 0\) (Negatiftir).
- Tanjant: \(\tan(\theta) < 0\) (Negatiftir).
- Kotanjant: \(\cot(\theta) < 0\) (Negatiftir).
✅ Bütünler Açı Kuralları (İndirgeme)
Bir \(\theta\) açısının bütünler açısı \((180^\circ - \theta)\) kadardır. Geniş açıları dar açılara çevirirken şu kuralları uygularız:
- \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)\)
- \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)\)
- \(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan(\theta)\)
- \(\cot(180^\circ - \theta) = -\cot(\theta)\)
Not: İsim değiştirme \((180^\circ\) ve \(360^\circ\) de) \(0\) yapılmaz, fonksiyon kendi adıyla kalır ancak işaret bölgeye göre belirlenir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: \(\cos(120^\circ)\) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm: \(120^\circ\) açısı II. bölgededir ve bütünler açısı \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) 'dir. Kosinüs fonksiyonu II. bölgede negatif olduğundan;
\(\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}\) olarak bulunur.
Örnek 2: \(\sin(135^\circ) \ imes \tan(150^\circ)\) işleminin sonucunu hesaplayınız.
Çözüm: İlk olarak her iki ifadeyi dar açı cinsinden yazalım:
\(\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Şimdi bu değerleri çarpalım:
\(\frac{\sqrt{2}}{2} \ imes \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{6}\)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\sin\) (120^ \(\circ\)) \(\cdot \sin\) (135^ \(\circ\)) \(\cdot \sin\) (150^ \(\circ\)) \]
B) \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)
C) \( \frac{\sqrt{2}}{4} \)
D) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \)
E) \( \frac{1}{8} \)
Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( m(\widehat{ABC}) = 150^\circ \) 'dir.
Buna göre, \( ABC \) üçgeninin alanı kaç \( \text{cm}^2 \) 'dir?
B) \( 12 \)
C) \( 12\sqrt{3} \)
D) \( 24 \)
E) \( 24\sqrt{3} \)
Birim çember üzerinde, başlangıç kenarı ile pozitif yönde \( 120^\circ \) 'lik açı yapan ışının çemberi kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) \( -\frac{1}{2} \)B) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
E) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\cos\) (120^ \(\circ\)) \(+ \cos\) (135^ \(\circ\)) \(\cdot \cos\) (45^ \(\circ\)) \]
B) \( -1 \)
C) \( 0 \)
D) \( 1 \)
E) \( 2 \)
Bir \( ABC \) üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 120^\circ \), \( |AC| = 5 \) cm ve \( |AB| = 3 \) cm'dir.
Buna göre, \( |BC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
B) \( \sqrt{43} \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( \sqrt{79} \)
\( \theta \) bir geniş açı olmak üzere,
\[\(\sin\) (\(\theta\)) \(= \frac{3}{5}\) \] olduğuna göre, \( \cos(\theta) \) değeri kaçtır?
B) \( -\frac{3}{5} \)
C) \( \frac{3}{5} \)
D) \( \frac{4}{5} \)
E) \( \frac{4}{3} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\tan\) (120^ \(\circ\)) \(\cdot \sqrt{3} - \tan\) (135^ \(\circ\)) \]
B) \( -2 \)
C) \( 0 \)
D) \( 2 \)
E) \( 4 \)
\( 90^\circ < x < 180^\circ \) olmak üzere,
\[\(\cos\) (x) \(= -\frac{3}{5}\) \] olduğuna göre, \( \tan(x) \) değeri kaçtır?
B) \( -\frac{3}{4} \)
C) \( \frac{3}{4} \)
D) \( \frac{4}{3} \)
E) \( \frac{5}{3} \)
\( ABCD \) ikizkenar yamuğunda \( [AB] \parallel [CD] \) 'dir.
\[ |AB| \(= 10\), \(\quad\) |CD| \(= 4\), \(\quad\) |AD| \(=\) |BC| \(= 5\) \] olduğuna göre, \( \tan(\widehat{ADC}) \) değeri kaçtır?
B) \( -\frac{3}{4} \)
C) \( -\frac{3}{5} \)
D) \( \frac{3}{4} \)
E) \( \frac{4}{3} \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\cot\) (120^ \(\circ\)) \(\cdot \cot\) (150^ \(\circ\)) \(+ \cot\) (135^ \(\circ\)) \]
B) \( -1 \)
C) \( 0 \)
D) \( 1 \)
E) \( 2 \)
\( 90^\circ < α < 180^\circ \) olmak üzere,
\[\(\sin\) (α) \(= \frac{3}{5}\) \] olduğuna göre, \( \cot(α) \) değeri kaçtır?
B) \( -\frac{3}{4} \)
C) \( -\frac{3}{5} \)
D) \( \frac{3}{4} \)
E) \( \frac{4}{3} \)
\( x \) bir dar açı olmak üzere, aşağıdaki ifadenin eşiti kaçtır?
\[\(\cot\) (180^ \(\circ -\) x) \(\cdot \tan\) (180^ \(\circ -\) x) \(+ \cot\) (90^ \(\circ +\) x) \(\cdot \tan\) (90^ \(\circ +\) x) \]
B) \( -1 \)
C) \( 0 \)
D) \( 1 \)
E) \( 2 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6513-10-sinif-genis-acili-sinus-test-coz-b3tu