📌 12. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar Çalışma Notu
Sevgili YKS adayları, 12. Sınıf Matematik müfredatının temel taşlarından biri olan üslü sayılar, Limit, Türev, İntegral ve Trigonometri gibi ileri düzey konuların da altyapısını oluşturur. Bu konuyu tam anlamıyla kavramak sınavda büyük avantaj sağlar.
💡 Temel Kurallar ve Özellikler
Üslü sayılarda işlem yaparken temel kuralları ezberlemek yerine mantığını kavramak gerekir. İşte en çok kullanılan özellikler:
- Tabanları Aynı Olan Üslü Sayılarda Çarpma: \(a^x \times a^y = a^{x+y}\)
- Tabanları Aynı Olan Üslü Sayılarda Bölme: \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\) \((a eq 0)\)
- Üssün Üssü: \((a^x)^y = a^{x \times y}\)
- Negatif Üs: \(a^{-x} = \frac{1}{a^x}\) \((a eq 0)\)
💡 İpucu: Soru çözerken tabanları asal çarpanlarına ayırmak, karmaşık görünen denklemleri saniyeler içinde çözmenizi sağlar! Örneğin \(27^x\) ifadesini \((3^3)^x = 3^{3x}\) olarak yazabilirsiniz.
🚀 Üslü Denklemler
\(a^x = a^y\) denkleminde \(a otin \{-1, 0, 1\}\) olmak üzere, tabanlar eşitse üsler de eşittir: \(x = y\). Eğer \(a = 1\) ise \(x\) ve \(y\) her değeri alabilir. \(a = -1\) veya \(a = 1\) durumlarında özel inceleme yapılmalıdır.
| Durum | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Aynı Taban | \(a^x = a^y \implies x = y\) | \(2^x = 32 \implies 2^x = 2^5 \implies x = 5\) |
| Aynı Üs (Tek) | \(a^x = b^x \implies a = b\) | \(x^3 = 27 \implies x^3 = 3^3 \implies x = 3\) |
| Aynı Üs (Çift) | \(x^n = y^n \implies x = y\) veya \(x = -y\) | \(x^4 = 16 \implies x = 2\) veya \(x = -2\) |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1:
\(\frac{2^{x+2} + 2^{x+1}}{2^{x-1}}\) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Pay kısmındaki ifadeleri \(2^x\) parantezine alalım:
\(2^{x+2} = 2^x \times 2^2 = 4 \times 2^x\)
\(2^{x+1} = 2^x \times 2^1 = 2 \times 2^x\)
Pay \(=\) \(4 \times 2^x + 2 \times 2^x = 6 \times 2^x\)
Payda \(=\) \(2^{x-1} = \frac{2^x}{2}\)
Oranlarsak: \(\frac{6 \times 2^x}{\frac{2^x}{2}} = 6 \times 2^x \times \frac{2}{2^x} = 12\) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
\(3^x = 5\) olduğuna göre, \(9^{x+1}\) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
İstenen ifadeyi \(3\) tabanında yazalım:
\(9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}\)
Bu ifadeyi üslü sayı kurallarını kullanarak düzenleyelim:
\(3^{2x} \times 3^2 = (3^x)^2 \times 9\)
Verilen \(3^x = 5\) değerini yerine koyalım:
\((5)^2 \times 9 = 25 \times 9 = 225\) olarak bulunur. ✅
Denklemini sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[ 3^{x+1} + 3^x \(= 36\) \]
B) \( 2 \)
C) \( 3 \)
Eşitsizliğini sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı kaçtır?
\[ 3^{2x-1} \(\le 27\) ^{x-2} \]
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
İşleminin sonucu kaçtır?
\[\(\frac\) {2^{a+2} - 2^a}{2^{a-1}} \]
B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
Olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımı kaçtır?
\[ 2^x \(= 9 \quad \text{ve} \quad 3\) ^y \(= 8\) \]
B) \( 6 \)
C) \( 8 \)
Denklemini sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[ 5^{x-2} \(= 9\) ^{x-2} \]
B) \( 3 \)
C) \( 5 \)
Yukarıda verilen denkleme göre \( x \) değeri kaçtır?
\[ 3^{x+2} + 3^{x+1} + 3^x \(= 117\) \]
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac\) {2^{18} + 2^{16}}{2^{15} + 2^{13}} \]
B) \( 8 \)
C) \( 16 \)
Verilen eşitliği sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
\[ 8^{x-1} \(= 16\) ^{x-2} \]
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac\) {5^{-1} + 5^{-2}}{5^{-3}} \]
B) \( 30 \)
C) \( 35 \)
Yukarıda verilen eşitliklere göre \( a \cdot b \) çarpımının değeri kaçtır?
\[ 2^a \(= 3 \text{ ve } 3\) ^b \(= 8\) \]
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6521-12-sinif-uslu-sayilar-test-coz-we6k