🚀 LGS Matematik Sınav Hazırlık Notu: Çarpanlar ve Katlar & Üslü İfadeler
Sevgili öğrenciler, LGS yolculuğunda matematik dersinin en temel ve en çok soru getiren konularını sizler için özetledik. Sınavda başarıya ulaşmak için bu kuralları adınız gibi bilmelisiniz!
📌 \(1.\) Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları
Her pozitif tam sayı, en az iki pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu sayılara o sayının çarpanları (aynı zamanda bölenleri) denir.
- Asal Sayılar: Sadece \(1\) ve kendisine bölünebilen, \(1\) 'den büyük doğal sayılardır. En küçük asal sayı \(2\) 'dir ve \(2\) dışında çift asal sayı yoktur.
- Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaktır. Örneğin; \(60\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\(60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1\) şeklinde yazılır. Buradaki asal çarpanlar \(2\), \(3\) ve \(5\) sayılarıdır.
💡 \(2.\) EBOB ve EKOK Kavramları
İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB, ortak katlarının en küçüğüne ise EKOK denir.
- EBOB Formülü: İki sayının asal çarpanlarına ayrılmış şeklinde, ortak olan tabanlardan üssü küçük olanlar çarpılır.
- EKOK Formülü: Ortak olan tabanlardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayan tüm çarpanlar çarpılır.
- Önemli Kural: İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir:
\(a \cdot b = EBOB(a, b) \cdot EKOK(a, b)\) - Aralarında Asal Sayılar: \(1\) 'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. Aralarında asal iki sayının EBOB'u \(1\), EKOK'u ise bu sayıların çarpımına eşittir.
⚡ EBOB - EKOK Problemlerini Ayırt Etme Yöntemi
| EBOB Problemleri (Bütünden Parçaya) | EKOK Problemleri (Parçadan Bütüne) |
|---|---|
| Büyük çuvallardaki ürünler küçük poşetlere paylaştırılıyorsa | Küçük tuğlalar birleştirilerek büyük bir küp yapılıyorsa |
| Bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla direk/ağaç dikiliyorsa | Ziller, saatler veya otobüsler belirli aralıklarla birlikte nöbet tutuyorsa |
| Kumaşlar, demir çubuklar eşit parçalara bölünüyor ise | Cevizler, bilyeler \(3\) 'er, \(5\) 'er sayılıp artan oluyorsa |
🚀 \(3.\) Üslü İfadeler
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına üslü ifade denir. \(a^n\) ifadesinde \(a\) taban, \(n\) ise üstür.
- Negatif Üs: Tabanın pay ve paydasının yerini değiştirir:
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) ve \((\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n\) - Üssün Üssü: Üsler çarpılır:
\((a^x)^y = a^{x \cdot y}\) - Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi:
- Tabanlar aynı ise üsler toplanır: \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
- Üsler aynı ise tabanlar çarpılır: \(a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x\)
- Üslü Sayılarda Bölme İşlemi:
- Tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)
- Üsler aynı ise tabanlar bölünür: \(\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x\)
- Bilimsel Gösterim: \(1 \le |a| < 10\) ve \(n\) bir tam sayı olmak üzere, bir sayının \(a \cdot 10^n\) şeklinde gösterilmesidir.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru \(1\): Kenar uzunlukları \(45\) m ve \(60\) m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç dikilebilir?
Çözüm \(1\): Bahçenin kenarları eşit parçalara bölüneceği için bu bir EBOB problemidir.
\(EBOB(45, 60)\) değerini bulalım:
\(45 = 3^2 \cdot 5\)
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)
\(EBOB(45, 60) = 3 \cdot 5 = 15\) m (İki ağaç arasındaki mesafe).
Bahçenin çevresi: \(2 \cdot (45 + 60) = 2 \cdot 105 = 210\) m.
Gerekli ağaç sayısı: \(\frac{\text{Cevre}}{\text{EBOB}} = \frac{210}{15} = 14\) adet ağaç dikilir.
✅ Cevap: \(14\)
Soru \(2\): \(\frac{8^4 \cdot 4^3}{2^5}\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm \(2\): Tüm tabanları en küçük asal taban olan \(2\) tabanına çevirelim:
\(8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}\)
\(4^3 = (2^2)^3 = 2^6\)
İşlemi tekrar yazalım:
\(\frac{2^{12} \cdot 2^6}{2^5} = \frac{2^{12+6}}{2^5} = \frac{2^{18}}{2^5} = 2^{18-5} = 2^{13}\)
✅ Cevap: \(2^{13}\)
Bir marangoz, elindeki \( 120 \) cm ve \( 150 \) cm uzunluğundaki iki tahta bloku hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta en büyük parçalara ayırmak istiyor. Marangozun her bir kesim işlemi \( 6 \) saniye sürmektedir.
Buna göre, marangozun tüm kesim işlemlerini tamamlaması en az kaç saniye sürer?
B) \( 42 \)
C) \( 48 \)
D) \( 54 \)
Bir klinikteki iki farklı alarmdan birincisi \( 45 \) dakikada bir, ikincisi ise \( 60 \) dakikada bir çalmaktadır. Bu iki alarm ilk kez saat \( 09.15 \) 'te birlikte çalmıştır.
Buna göre, bu alarmlar 4. kez birlikte çaldıklarında saat kaçı gösterir?
B) \( 18.15 \)
C) \( 21.15 \)
D) \( 22.15 \)
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[\(\frac{27^4 \cdot 9^3}{3^5}\) \]
B) \( 3^{11} \)
C) \( 3^{12} \)
D) \( 3^{13} \)
Bir kuş tüyünün kütlesi yaklaşık olarak \( 0,0000056 \) gramdır.
Buna göre, bu kuş tüyünün kütlesinin kilogram cinsinden bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (\( 1 \text{ kg} = 10^3 \text{ g} \))
B) \( 5,6 \cdot 10^{-8} \)
C) \( 56 \cdot 10^{-10} \)
D) \( 0,56 \cdot 10^{-8} \)
Çözümlenmiş biçimi aşağıda verilen ondalık gösterim hangisidir?
\[\(4 \cdot 10\) ^ \(2 + 5 \cdot 10\) ^ \(0 + 3 \cdot 10\) ^{-1} \(+ 8 \cdot 10\) ^{-3} \]
B) \( 405,38 \)
C) \( 405,308 \)
D) \( 450,308 \)
\( a \) ve \( b \) aralarında asal iki doğal sayıdır.
\[\(\frac{a}{b} = \frac{36}{45}\) \]
Buna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
B) \( 9 \)
C) \( 12 \)
D) \( 15 \)
Bir marangoz, elindeki \( 120 \) cm ve \( 150 \) cm uzunluğundaki iki tahta bloku hiç parça artmayacak şekilde eşit uzunlukta en büyük parçalara ayırmak istiyor.
Buna göre marangoz toplam kaç parça tahta elde eder?
B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 15 \)
Bir otogardan hareket eden iki farklı otobüsten birincisi \( 18 \) dakikada bir, ikincisi ise \( 24 \) dakikada bir sefere çıkmaktadır.
Bu otobüsler ilk kez saat \( 09.00 \) 'da birlikte sefere çıktıklarına göre, bir sonraki kez saat kaçta tekrar birlikte sefere çıkarlar?
B) \( 10.24 \)
C) \( 10.36 \)
D) \( 11.12 \)
Verilen işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
\[\(\frac\) {27^ \(4 \cdot 9\) ^{-2}}{3^3} \]
B) \( 3^4 \)
C) \( 3^5 \)
D) \( 3^6 \)
Aşağıda verilen sayının bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
\[ 0, \(000125 \cdot 10\) ^{-4} \]
B) \( 1,25 \cdot 10^{-8} \)
C) \( 12,5 \cdot 10^{-9} \)
D) \( 1,25 \cdot 10^{-10} \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6552-8-sinif-lgs-ebob-ekok-test-coz-eq01