🚀 LGS Matematik: EBOB ve EKOK Konu Anlatımı
Sevgili öğrenciler, LGS'de her yıl mutlaka soru gelen, matematiğin en temel ve zevkli konularından biri olan EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) konusunu bu çalışma notuyla tamamen kavrayacaksınız. Hazırsanız başlayalım! 🎯
📌 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Nedir?
İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. \(A\) ve \(B\) sayılarının EBOB'u \(\text{EBOB}(A, B)\) şeklinde gösterilir.
💡 Altın Kural: EBOB bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.
EBOB Problemlerinin İpuçları: Eğer bir soruda büyük parçalardan küçük parçalar elde ediliyorsa (bütünden parçaya gidiliyorsa) orada EBOB vardır.
- Bidonlardaki veya çuvallardaki malzemelerin daha küçük paketlere paylaştırılması,
- Bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilmesi,
- Kumaşların veya demir çubukların eşit uzunlukta parçalara bölünmesi.
📌 En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir?
İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir. \(A\) ve \(B\) sayılarının EKOK'u \(\text{EKOK}(A, B)\) şeklinde gösterilir.
💡 Altın Kural: EKOK bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan tüm asal çarpanlar çarpılır.
EKOK Problemlerinin İpuçları: Eğer bir soruda küçük parçalardan büyük bir bütün elde ediliyorsa (parçadan bütüne gidiliyorsa) orada EKOK vardır.
- Zillerin veya saatlerin belirli aralıklarla birlikte çalması,
- Cevizlerin veya bilyelerin \(3\) 'er, \(5\) 'er sayılıp artması veya tam bölünmesi,
- Farklı boyutlardaki fayansların birleştirilerek kare zemin oluşturulması.
⚡ EBOB ve EKOK Özellikleri
İki pozitif tam sayı \(A\) ve \(B\) için aşağıdaki kurallar her zaman geçerlidir:
| Özellik | Açıklama |
|---|---|
| \(\text{EBOB}(A, B) \cdot \text{EKOK}(A, B)\) | \(A \cdot B\) (Sayıların çarpımına eşittir) |
| Aralarında Asal Sayılar | \(\text{EBOB}(A, B) = 1\) ve \(\text{EKOK}(A, B) = A \cdot B\) |
| Birbirinin Katı Olan Sayılar | Küçük sayı EBOB'a, büyük sayı EKOK'a eşittir. |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru \(1\): \(24\) kg pirinç ve \(36\) kg nohut birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli poşetlere doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç poşet gereklidir?
Çözüm: Büyük parçalardan küçük paketler elde edileceği için EBOB bulmalıyız.
\(\text{EBOB}(24, 36)\) değerini bulalım:
\(24 = 2^3 \cdot 3^1\)
\(36 = 2^2 \cdot 3^2\)
\(\text{EBOB}(24, 36) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12\) kg (Bir poşetin alabileceği maksimum ağırlık).
Gerekli poşet sayısı:
Pirinç için: \(24 \div 12 = 2\) poşet
Nohut için: \(36 \div 12 = 3\) poşet
Toplam poşet sayısı: \(2 + 3 = 5\) poşet bulunur. ✅
Soru \(2\): İki limandan kalkan gemilerden biri \(12\) günde bir, diğeri ise \(18\) günde bir sefere çıkmaktadır. Bu iki gemi aynı gün limandan ayrıldıktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar?
Çözüm: Küçük zaman dilimlerinden ortak bir gelecek zamanı bulacağımız için (parçadan bütüne) EKOK kullanmalıyız.
\(\text{EKOK}(12, 18)\) değerini bulalım:
\(12 = 2^2 \cdot 3^1\)
\(18 = 2^1 \cdot 3^2\)
\(\text{EKOK}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar. ✅
Boyları \( 48 \) cm ve \( 60 \) cm olan iki demir çubuk, boyları birbirine eşit ve mümkün olan en büyük uzunlukta parçalara ayrılacaktır.
Buna göre, elde edilecek her bir parçanın uzunluğu kaç cm olur?
B) \( 8 \)
C) \( 12 \)
D) \( 24 \)
Asal çarpanlarına ayrılmış şekli verilen \( A \) ve \( B \) sayıları aşağıdaki gibidir:
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5\) \]
\[ B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
Buna göre, bu iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
B) \( 18 \)
C) \( 36 \)
D) \( 72 \)
Bir çuvalda \( 72 \) kg pirinç, diğer çuvalda ise \( 96 \) kg nohut vardır. Bu bakliyatlar birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli en büyük torbalara doldurulacaktır.
Buna göre, bu iş için en az kaç torba gereklidir?
B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 12 \)
Kenar uzunlukları \( 45 \) m ve \( 75 \) m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.
Buna göre, bu iş için en az kaç ağaç gereklidir?
B) \( 15 \)
C) \( 16 \)
D) \( 20 \)
İki doğal sayının oranı aşağıdaki gibidir:
\[\(\frac{3}{5}\) \]
Bu iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) \( 8 \) olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
B) \( 56 \)
C) \( 64 \)
D) \( 80 \)
İki farklı alarmdan birincisi 15 dakikada bir, ikincisi ise 18 dakikada bir çalmaktadır. Bu iki alarm ilk kez saat \( 09.00 \) 'da birlikte çaldığına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte çalarlar?
A) Saat \( 10.00 \)B) Saat \( 10.30 \)
C) Saat \( 11.00 \)
D) Saat \( 11.30 \)
Asal çarpanlarına ayrılmış şekli verilen \( A \) ve \( B \) sayılarının en küçük ortak katı aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5 \quad \text{ve} \quad\) B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
B) \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \)
C) \( 2^5 \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7 \)
D) \( 2^3 \cdot 3^3 \)
Bir torbadaki bilyeler sekizerli ve onarlı gruplandırıldığında her seferinde 3 bilye artmaktadır. Torbadaki bilye sayısının 100 ile 150 arasında olduğu bilindiğine göre, torbada kaç bilye vardır?
A) \( 117 \)B) \( 123 \)
C) \( 137 \)
D) \( 143 \)
Dairesel bir pistin etrafında aynı noktadan aynı anda ve aynı yöne doğru koşmaya başlayan iki koşucudan birincisi bir turu 36 saniyede, ikincisi ise 45 saniyede tamamlamaktadır. Bu iki koşucu başlangıç noktasında ilk kez yan yana geldiklerinde hızlı olan koşucu kaç tur atmış olur?
A) \( 4 \)B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 9 \)
Uzunluğu 2 metreden az olan bir rafa, genişliği 12 cm olan kitaplar ve genişliği 18 cm olan kitaplar aralarında boşluk kalmayacak şekilde yan yana dizilebilmektedir. Buna göre bu rafın uzunluğu en fazla kaç santimetredir?
A) \( 144 \)B) \( 162 \)
C) \( 180 \)
D) \( 198 \)
Bir bakkal \( 48 \text{ kg} \) pirinç ve \( 60 \text{ kg} \) mercimeği birbirine karıştırmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki torbalara dolduracaktır.
Buna göre, bu iş için kullanılacak torbaların her biri en fazla kaç kilogramlık olmalıdır?
B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 24 \)
Asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıda verilen \( A \) ve \( B \) sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5\) \] \[ B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
B) \( 18 \)
C) \( 36 \)
D) \( 72 \)
Kenar uzunlukları \( 40 \text{ m} \) ve \( 56 \text{ m} \) olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak şekilde eşit büyüklükte kare parsellere ayrılacaktır.
Buna göre, en az kaç kare parsel elde edilir?
B) \( 35 \)
C) \( 40 \)
D) \( 70 \)
Aralarında asal olmayan iki pozitif tam sayının oranı \( \frac{3}{4} \) 'tür.
Bu iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) \( 6 \) olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
B) \( 36 \)
C) \( 42 \)
D) \( 48 \)
Kenar uzunlukları \( 30 \text{ m} \) ve \( 45 \text{ m} \) olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.
İki ağaç arasındaki mesafe en fazla olacak şekilde planlama yapıldığına göre, en az kaç ağaç gerekir?
B) \( 12 \)
C) \( 15 \)
D) \( 20 \)
İki farklı zilden birincisi \( 12 \) dakikada bir, ikincisi ise \( 15 \) dakikada bir çalmaktadır. Bu iki zil ilk kez saat \( 08.00 \) 'de birlikte çaldığına göre, ikinci kez saat kaçta tekrar birlikte çalarlar?
A) \( 08.30 \)B) \( 09.00 \)
C) \( 09.15 \)
D) \( 10.00 \)
Asal çarpanlarına ayrılmış şekli verilen \( A \) ve \( B \) sayıları aşağıdaki gibidir:
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5\) \] \[ B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
Buna göre, bu iki sayının en küçük ortak katı olan \( \text{EKOK}(A, B) \) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \)
C) \( 2^5 \cdot 3^5 \cdot 35 \)
D) \( 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)
Bir torbadaki bilyeler sekizerli ve onarlı gruplandırıldığında her seferinde \( 5 \) bilye artmaktadır. Torbadaki bilye sayısı \( 100 \) 'den fazla olduğuna göre, bu torbada en az kaç bilye vardır?
A) \( 105 \)B) \( 115 \)
C) \( 125 \)
D) \( 165 \)
Dairesel bir pistin etrafında aynı noktadan aynı yöne doğru koşmaya başlayan iki koşucudan birincisi bir turu \( 18 \) saniyede, ikincisi ise \( 24 \) saniyede tamamlamaktadır. Bu iki koşucu başlangıç noktasından aynı anda koştuktan en az kaç saniye sonra ilk kez tekrar başlangıç noktasında yan yana gelirler?
A) \( 48 \)B) \( 54 \)
C) \( 72 \)
D) \( 96 \)
Kenar uzunlukları \( 15 \text{ cm} \) ve \( 20 \text{ cm} \) olan dikdörtgen şeklindeki fayanslar yan yana ve üst üste dizilerek boşluk kalmayacak şekilde bir kare oluşturulacaktır. Buna göre, oluşturulabilecek en küçük karenin bir kenar uzunluğu kaç santimetredir?
A) \( 45 \)B) \( 60 \)
C) \( 80 \)
D) \( 120 \)
Boyları \( 120 \text{ cm} \) ve \( 150 \text{ cm} \) olan iki tahta çubuk, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta en büyük parçalara ayrılacaktır.
Buna göre, elde edilen toplam parça sayısı kaçtır?
B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 15 \)
Bir zeytinyağı üreticisi \( 54 \text{ litre} \) sızma zeytinyağı ve \( 72 \text{ litre} \) riviera zeytinyağını birbirine karıştırmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli en büyük şişelere dolduracaktır.
Buna göre, bu işlem için en az kaç şişe gereklidir?
B) \( 7 \)
C) \( 9 \)
D) \( 14 \)
Kenar uzunlukları \( 40 \text{ m} \) ve \( 56 \text{ m} \) olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelerine de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.
Buna göre, ardışık iki ağaç arasındaki mesafe en fazla olduğunda bahçenin etrafına en az kaç ağaç dikilir?
B) \( 20 \)
C) \( 24 \)
D) \( 48 \)
Asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıda verilen \( A \) ve \( B \) sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5\) \] \[ B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
B) \( 18 \)
C) \( 36 \)
D) \( 72 \)
Bir okul gezisinde \( 48 \) erkek ve \( 80 \) kız öğrenci bir otelde konaklayacaktır. Her odada eşit sayıda ve sadece aynı cinsiyetten öğrenciler kalacaktır.
Buna göre, bu öğrenciler için en az kaç oda gereklidir?
B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 16 \)
Bir duraktan hareket eden iki otobüsten birincisi her \( 45 \) dakikada bir, ikincisi ise her \( 60 \) dakikada bir sefere çıkmaktadır. Bu iki otobüs saat \( 07.00 \) 'de ilk kez birlikte sefere çıktıklarına göre, üçüncü kez birlikte sefere çıktıklarında saat kaçı gösterir?
A) \( 10.00 \)B) \( 13.00 \)
C) \( 15.00 \)
D) \( 16.00 \)
Üslü ifadelerin çarpımı şeklinde verilen \( A \) ve \( B \) sayıları aşağıda gösterilmiştir:
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5\) \] \[ B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
Buna göre, \( A \) ve \( B \) sayılarının en küçük ortak katı olan \( \text{EKOK}(A, B) \) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( 2^3 \cdot 3^3 \)
C) \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \)
D) \( 2^5 \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7 \)
Bir torbadaki bilyeler sekizerli ve onarlı gruplandırıldığında her seferinde \( 5 \) bilye artmaktadır. Torbadaki bilye sayısının \( 150 \) ile \( 200 \) arasında olduğu bilindiğine göre, bu torbada kaç bilye vardır?
A) \( 155 \)B) \( 165 \)
C) \( 175 \)
D) \( 185 \)
Kenar uzunlukları \( 12 \text{ cm} \) ve \( 18 \text{ cm} \) olan dikdörtgen şeklindeki kartonlar yan yana ve alt alta dizilerek bir kare oluşturulacaktır. Buna göre, en küçük alanlı kareyi oluşturmak için en az kaç adet karton kullanılmalıdır?
A) \( 6 \)B) \( 12 \)
C) \( 18 \)
D) \( 24 \)
Dairesel bir pist etrafında koşmakta olan iki sporcudan birincisi bir turu \( 24 \) saniyede, ikincisi ise \( 36 \) saniyede tamamlamaktadır. Aynı noktadan aynı anda ve aynı yöne doğru koşmaya başlayan bu sporcular, en az kaç saniye sonra başlangıç noktasında tekrar yan yana gelirler?
A) \( 48 \)B) \( 60 \)
C) \( 72 \)
D) \( 108 \)
\( a - 3 \) ve \( b + 2 \) aralarında asal iki doğal sayıdır.
\[\(\frac{a - 3}{b + 2} = \frac{24}{40}\) \] olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 11 \)
\( 3A \) iki basamaklı bir doğal sayıdır. \( 3A \) ile \( 12 \) sayıları aralarında asal olduğuna göre, \( A \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
A) \( 11 \)B) \( 12 \)
C) \( 13 \)
D) \( 15 \)
Kenar uzunlukları metre cinsinden birer tam sayı ve aralarında asal olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin alanı \( 60 \text{ m}^2 \) 'dir.
Buna göre bu bahçenin çevre uzunluğu en az kaç metredir?
B) \( 34 \)
C) \( 38 \)
D) \( 46 \)
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?
A) \( 15 \) ve \( 21 \)B) \( 24 \) ve \( 35 \)
C) \( 13 \) ve \( 39 \)
D) \( 27 \) ve \( 51 \)
\( x \) ve \( y \) aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.
\[\(\text{EBOB}\) (x, y) \(+ \text{EKOK}\) (x, y) \(= 73\) \] olduğuna göre, \( x + y \) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) \( 18 \)
C) \( 22 \)
D) \( 73 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6558-8-sinif-lgs-en-buyuk-ortak-bolen-test-coz-jndm