🚀 \(12.\) Sınıf Matematik AYT Hazırlık Notları
Sevgili öğrencilerimiz, bu çalışma notunda AYT ve okul sınavlarında sıkça karşınıza çıkan Mutlak Değer, Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler konularının kritik noktalarını bir araya getirdik. Sınav öncesi bu özet bilgileri mutlaka tekrar ediniz.
📌 \(1.\) Mutlak Değer
Bir gerçek sayının, sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (\(0\) noktasına) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir ve \(|x|\) ile gösterilir. Uzaklık negatif olamayacağından, mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz.
💡 Önemli Özellik: \(x \ge 0\) ise \(|x| = x\) ve \(x < 0\) ise \(|x| = -x\) olarak dışarı çıkar.
- \(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\)
- \(\left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}\) (\(y eq 0\))
- \(|x|^2 = x^2\)
- \(|x| \le a\) ve \(a > 0\) ise \(-a \le x \le a\) olur.
📌 \(2.\) Polinomlar
\(n \in \mathbb{N}\) ve \(a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}\) olmak üzere, \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\) biçimindeki ifadelere gerçek katsayılı polinom denir.
- Derece: En büyük üsse sahip terimin üssüdür ve \(der[P(x)] = n\) şeklinde gösterilir.
- Baş Katsayı: En büyük dereceli terimin katsayısı olan \(a_n\) değeridir.
- Kalan Teoremi: Bir \(P(x)\) polinomunun \(x - a\) ile bölümünden kalan \(P(a)\) değeridir.
📌 \(3.\) İkinci Dereceden Denklemler
\(a, b, c \in \mathbb{R}\) ve \(a eq 0\) olmak üzere, \(ax^2 + bx + c = 0\) ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Denklemin köklerini bulmak için öncelikle diskriminant (\(\Delta\)) hesaplanır:
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
- \(\Delta > 0\) ise denklemin \(2\) farklı gerçek kökü vardır: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- \(\Delta = 0\) ise denklemin çakışık (eşit) \(2\) gerçek kökü vardır: \(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\)
- \(\Delta < 0\) ise denklemin gerçek kökü yoktur (karmaşık kökleri vardır).
✅ Kökler ile Katsayılar Arasındaki İlişkiler
\(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminin kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) olsun:
- Kökler Toplamı: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
- Kökler Çarpımı: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru \(1\): Polinomda Kalan Bulma
Soru: \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) polinomunun \(x - 2\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Bir polinomun \(x - a\) ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda \(x\) yerine \(a\) yazılır. Burada \(x - 2 = 0 \implies x = 2\) yazmalıyız. Bizden istenen değer \(P(2)\) 'dir.
\(P(2) = 2 \cdot (2)^3 - 3 \cdot (2)^2 + 4 \cdot (2) - 5\)
\(P(2) = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 8 - 5\)
\(P(2) = 16 - 12 + 8 - 5 = 7\) bulunur.
Cevap: Kalan \(7\) 'dir.
Soru \(2\): İkinci Dereceden Denklemler
Soru: \(x^2 - 6x + k - 2 = 0\) denkleminin kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) 'dir. \(x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 12\) olduğuna göre \(k\) kaçtır?
Çözüm: Verilen denklemin katsayıları \(a = 1\), \(b = -6\) ve \(c = k - 2\) 'dir.
- Kökler toplamı: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6\)
- Kökler çarpımı: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k - 2}{1} = k - 2\)
Soruda verilen eşitlikte bu değerleri yerine yazalım:
\((x_1 + x_2) + (x_1 \cdot x_2) = 12\)
\(6 + (k - 2) = 12\)
\(k + 4 = 12 \implies k = 8\) bulunur.
Cevap: \(k = 8\) 'dir.
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
\[ ||x - 2| - 3| \(= 5\) \]
B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
E) \( 10 \)
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan \( x \) tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
\[ |2x - 5| \(\le 7\) \]
B) \( 18 \)
C) \( 20 \)
D) \( 21 \)
E) \( 24 \)
\( -3 < x < 2 \) olmak üzere, aşağıdaki ifadenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
\[ |x + 3| + |x - 2| - |2x - 5| \]
B) \( -2x \)
C) \( 2x - 10 \)
D) \( 10 \)
E) \( 0 \)
Baş katsayısı \( 1 \) olan üçüncü dereceden bir \( P(x) \) polinomu için,
\[ P(1) \(=\) P(2) \(=\) P(3) \(= 4\) \] eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
B) \( 8 \)
C) \( 10 \)
D) \( 12 \)
E) \( 14 \)
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere, \( P(2x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamı \( 5 \), \( P(x + 2) \) polinomunun sabit terimi ise \( 9 \) dur. Buna göre, \( P(x) \) polinomunun
\[ x^2 - 3x + 2 \] ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( 4x + 1 \)
C) \( 3x + 2 \)
D) \( 4x - 1 \)
E) \( 5x - 1 \)
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\[ P(x) + P(x + 1) \(= 2\) x^2 + 6x + 5 \] eşitliği veriliyor. Buna göre, \( P(2) \) değeri kaçtır?
B) \( 6 \)
C) \( 9 \)
D) \( 12 \)
E) \( 16 \)
\( m \) bir pozitif gerçek sayı olmak üzere,
\[ x^2 - (m+1)x + m \(+ 4 = 0\) \] denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) 'dir.
\( x_1^2 + x_2^2 = 18 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
B) \( 4 \)
C) \( 5 \)
D) \( 6 \)
E) \( 7 \)
Aşağıda verilen dördüncü dereceden denklemin gerçel köklerinin toplamı kaçtır?
\[ (x^2 - 2x)^2 - 11(x^2 - 2x) \(+ 24 = 0\) \]
B) \( 4 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
E) \( 11 \)
\( x^2 - 5x + a = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) 'dir.
Kökler arasında,
\[ 2x_1 - x_ \(2 = 1\) \] bağıntısı olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
E) \( 10 \)
Aşağıdaki eşitliği sağlayan \( x \) gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
\[ |x - 2| + |2x - 4| \(= 9\) \]
B) \( -3 \)
C) \( 3 \)
D) \( 5 \)
E) \( 10 \)
Aşağıdaki eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \( x \) tam sayı değeri vardır?
\[ |2x - 5| \(\le 7\) \]
B) \( 7 \)
C) \( 8 \)
D) \( 9 \)
E) \( 10 \)
\( x < y < 0 \) olmak üzere, aşağıdaki ifadenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
\[ |x - y| + |x + y| \(- \sqrt{y^2}\) \]
B) \( y - 2x \)
C) \( -2x \)
D) \( 2y - x \)
E) \( -x \)
\( P(x) \) bir polinomdur.
\[ P(x) \(= 2\) x^3 - ax^2 + 4x - 8 \]
polinomu \( x - 2 \) ile kalansız bölünebildiğine göre, \( a \) değeri kaçtır?
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere,
\[\(\text{der}\) [P^2(x) \(\cdot\) Q(x)] \(= 11\) \] \[\(\text{der}\left\) (\(\frac{P(x)}{Q(x)}\right\)) \(= 1\) \]
olduğuna göre, \( \text{der}[P(x^2) \cdot Q(x^3)] \) değeri kaçtır?
B) \( 15 \)
C) \( 16 \)
D) \( 17 \)
E) \( 18 \)
Bir \( P(x) \) polinomunun \( x - 1 \) ile bölümünden kalan \( 5 \), \( x - 2 \) ile bölümünden kalan \( 7 \) 'dir.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun
\[ x^2 - 3x + 2 \]
ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?
B) \( 2x - 3 \)
C) \( 3x + 2 \)
D) \( 3x - 2 \)
E) \( x + 4 \)
\( x^2 - 5x + m - 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) 'dir.
\[ x_1^2 + x_2^ \(2 = 13\) \]
olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
E) \( 9 \)
\( x^2 - (k+1)x + 9 = 0 \) denkleminin çakışık iki gerçek kökü vardır.
Buna göre, \( k \) 'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
B) \( -2 \)
C) \( 0 \)
D) \( 2 \)
E) \( 4 \)
Aşağıda verilen dördüncü dereceden denklemin pozitif köklerinin toplamı kaçtır?
\[ x^4 - 10x^ \(2 + 9 = 0\) \]
B) \( 3 \)
C) \( 4 \)
D) \( 5 \)
E) \( 6 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6607-12-sinif-mutlak-deger-test-coz-f59t