✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

12. Sınıf Tam sayılar Test Çöz

SORU 1

\( a, b \) ve \( c \) birer tam sayı olmak üzere,

\[ a \(\cdot\) b + 3c \] ifadesi tek sayıya,

\[ 2a + b \] ifadesi ise çift sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?

A) \( a + b \)
B) \( b \cdot c \)
C) \( a + c \)
Açıklama:
\( 2a + b \) ifadesi çift sayı olduğuna göre, \( 2a \) her zaman çift olduğundan \( b \) mutlaka çift bir tam sayı olmalıdır.

\( a \cdot b + 3c \) ifadesi tek sayı olduğuna göre ve \( b \) çift olduğundan \( a \cdot b \) çift sayı olur. Bu durumda toplamın tek olması için \( 3c \) tek sayı, dolayısıyla \( c \) tek bir tam sayı olmalıdır.

\( b \) çift ve \( c \) tek sayı olduğuna göre, çarpımları olan \( b \cdot c \) her zaman çift sayıdır. \( a \) hakkında kesin bir bilgiye ulaşılamaz.
Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

📌 Tam Sayılar ve Temel Özellikleri (YKS Hazırlık)

Matematiğin en temel yapı taşlarından biri olan tam sayılar kümesi, \(Z\) sembolü ile gösterilir. Bu küme negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıların birleşiminden oluşur: \(Z = Z^{-} \cup \{0\} \cup Z^{+}\) şeklinde ifade edilir. Burada \(Z^{-} = \{..., -3, -2, -1\}\) ve \(Z^{+} = \{1, 2, 3, ...\}\) kümesidir. Sıfır (\(0\)) sayısı nötrdür; ne pozitif ne de negatiftir.

💡 Tam Sayılarda Teklik ve Çiftlik Durumları

Tam sayılar iki ana gruba ayrılır: çift sayılar ve tek sayılar. \(k \in Z\) olmak üzere:

🚀 Önemli Kural: İki tek sayının toplamı veya farkı her zaman çift sayıdır (\(T \pm T = Ç\)). Tek sayı ile çift sayının çarpımı ise her zaman çift sayıdır (\(T \cdot Ç = Ç\)).

✅ Ardışık Tam Sayılar ve Toplam Formülleri

Belirli bir kurala göre ardışık olarak sıralanan tam sayılara ardışık sayılar denir. Örneğin, ardışık tam sayılar arasındaki fark \(1\) iken, ardışık çift veya tek sayılar arasındaki fark \(2\) ’dir.

Kavram Formül
\(1\) 'den \(n\) 'e kadar olan ardışık sayıların toplamı \(\frac{n \cdot (n + 1)}{2}\)
\(2\) 'den \(2n\) 'e kadar olan ardışık çift sayıların toplamı \(n \cdot (n + 1)\)
\(1\) 'den \(2n-1\) 'e kadar olan ardışık tek sayıların toplamı \(n^2\)

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1: \(a\), \(b\) ve \(c\) birer tam sayı olmak üzere, \(a \cdot b + 3 = 2c\) eşitliği veriliyor. Buna göre \(a\) ve \(b\) sayılarının teklik-çiftlik durumunu inceleyiniz.

Çözüm 1: Verilen eşitliği inceleyelim: \(a \cdot b + 3 = 2c\). Eşitliğin sağ tarafındaki \(2c\) ifadesi, \(c\) bir tam sayı olduğu için her zaman bir çift sayıdır. Bu durumda eşitliğin sol tarafı da çift olmalıdır. Sol tarafta \(a \cdot b + 3\) ifadesi vardır. \(3\) sayısı bir tek sayıdır. Tek bir sayı ile hangi sayıyı toplarsak çift sayı elde ederiz? Tabii ki tek bir sayıyı (\(T + T = Ç\)). Dolayısıyla, \(a \cdot b\) çarpımı kesinlikle bir tek sayı olmalıdır. İki tam sayının çarpımının tek olabilmesi için her iki sayının da tek olması gerekir. Buradan \(a\) sayısının tek ve \(b\) sayısının da tek olduğu sonucuna ulaşırız.

Soru 2: Ardışık \(3\) tek tam sayının toplamı \(45\) olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm 2: Ardışık tek sayılar arasındaki fark \(2\) ’dir. En küçük sayıya \(x\) dersek, sayılarımız sırasıyla \(x\), \(x + 2\) ve \(x + 4\) olacaktır. Bu sayıların toplamı:
\(x + (x + 2) + (x + 4) = 45\)
\(3x + 6 = 45\)
\(3x = 39\)
\(x = 13\) olarak bulunur. En büyük sayı \(x + 4\) olduğuna göre, en büyük sayı \(13 + 4 = 17\) olur.