🚀 \(8\). Sınıf LGS Matematik: Çarpanlar ve Katlar Sınav Çalışma Notu
Sevgili öğrenciler, LGS'nin en temel ve önemli konularından biri olan Çarpanlar ve Katlar konusunu bu çalışma notu ile kolayca tekrar edebilirsiniz. Sınavda başarılar dileriz!
📌 Pozitif Tam Sayıların Çarpanları
Her pozitif tam sayı, \(2\) pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu sayılara o sayının çarpanları (aynı zamanda bölenleri) denir.
Örnek: \(12\) sayısının pozitif çarpanlarını bulalım:
\(12 = 1 \times 12\)
\(12 = 2 \times 6\)
\(12 = 3 \times 4\)
Bu durumda \(12\) sayısının çarpanları: \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) ve \(12\) olmak üzere \(6\) tanedir.
💡 Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar
Sadece \(1\) 'e ve kendisine bölünebilen, \(1\) 'den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.
- En küçük asal sayı \(2\) 'dir.
- \(2\) dışında çift asal sayı yoktur.
- Asal sayılar: \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), \(23\), ... şeklinde devam eder.
Bir pozitif tam sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. Örneğin \(24\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\(24 = 2^3 \times 3\) şeklinde yazılır. Burada \(24\) 'ün asal çarpanları \(2\) ve \(3\) 'tür.
🔍 En Büyük Ortak Bölen (\(EBOB\)) ve En Küçük Ortak Kat (\(EKOK\))
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne \(EBOB\), ortak katlarının en küçüğüne ise \(EKOK\) denir.
- \(EBOB\) Özelliği: İki sayının \(EBOB\) 'u bulunurken, sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.
- \(EKOK\) Özelliği: İki sayının \(EKOK\) 'u bulunurken, ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan tüm asal çarpanlar çarpılır.
- Önemli Kural: Herhangi \(2\) pozitif tam sayı \(a\) ve \(b\) için:
\(EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) = a \times b\) formülü geçerlidir.
🤝 Aralarında Asal Sayılar
\(1\) 'den başka ortak böleni olmayan pozitif tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
- Aralarında asal sayıların asal sayı olması zorunlu değildir. Örneğin \(8\) ve \(15\) sayıları asal değildir ancak aralarında asaldır.
- Ardışık doğal sayılar aralarında asaldır. Örneğin \(12\) ve \(13\).
- Aralarında asal \(2\) sayının \(EBOB\) 'u her zaman \(1\) 'dir.
- Aralarında asal \(2\) sayının \(EKOK\) 'u ise bu sayıların çarpımına eşittir: \(EKOK(a, b) = a \times b\).
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru \(1\)
\(18\) ve \(24\) sayılarının en büyük ortak böleni (\(EBOB\)) ile en küçük ortak katının (\(EKOK\)) toplamı kaçtır?Çözüm:
Öncelikle sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
\(18 = 2 \times 3^2\)
\(24 = 2^3 \times 3\)
\(EBOB(18, 24)\) için ortak olan tabanlardan üssü küçük olanları seçip çarpıyoruz:
\(EBOB(18, 24) = 2^1 \times 3^1 = 6\)
\(EKOK(18, 24)\) için ortak olanlardan üssü büyük olanları ve ortak olmayanleri çarpıyoruz:
\(EKOK(18, 24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\)
Bizden bu iki değerin toplamı istenmiştir:
\(6 + 72 = 78\) bulunur.
Soru \(2\)
Bir bakkal, ellerinde bulunan \(30\) kg pirinç ve \(45\) kg bulguru birbirine karıştırmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli en büyük torbalara dolduracaktır. Bu iş için en az kaç torba gerekir?
Çözüm:
Eşit hacimli ve en büyük torbalar istendiği için \(30\) ve \(45\) sayılarının en büyük ortak bölenini (\(EBOB\)) bulmalıyız.
\(EBOB(30, 45)\) değerini hesaplayalım:
\(30 = 2 \times 3 \times 5\)
\(45 = 3^2 \times 5\)
\(EBOB(30, 45) = 3 \times 5 = 15\) kg (Bir torbanın alabileceği maksimum ağırlık)
Gerekli torba sayılarını bulalım:
Pirinç için: \(30 \div 15 = 2\) torba
Bulgur için: \(45 \div 15 = 3\) torba
Toplam torba sayısı: \(2 + 3 = 5\) torba gereklidir.
\( 120 \) sayısının kaç tane pozitif tam sayı çarpanı vardır?
A) \( 12 \)B) \( 14 \)
C) \( 16 \)
D) \( 18 \)
\( 360 \) sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde üslü ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \)B) \( 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
C) \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \)
D) \( 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)
\( 420 \) sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
A) \( 15 \)B) \( 17 \)
C) \( 19 \)
D) \( 21 \)
Bir pozitif tam sayının tüm pozitif tam sayı çarpanları küçükten büyüğe doğru aşağıdaki gibi sıralanmıştır:
\[ 1, \(\quad 2\), \(\quad\) A, \(\quad 4\), \(\quad 6\), \(\quad\) B, \(\quad 12\), \(\quad\) C, \(\quad 24\), \(\quad 48\) \]
Buna göre, \( A + B + C \) işleminin sonucu kaçtır?
B) \( 27 \)
C) \( 29 \)
D) \( 31 \)
Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı ve alanı \( 72 \text{ cm}^2 \) olan kaç farklı dikdörtgen çizilebilir?
A) \( 4 \)B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 8 \)
\( a+1 \) ve \( b-2 \) aralarında asal iki doğal sayıdır.
\[\(\frac{a+1}{b-2} = \frac{15}{25}\) \] olduğuna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?
B) \( 8 \)
C) \( 9 \)
D) \( 10 \)
\( 300 \) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıda verilmiştir.
\[\(300 = 2\) ^a \(\cdot 3\) ^b \(\cdot 5\) ^c \] Buna göre \( a + b + c \) işleminin sonucu kaçtır?
B) \( 5 \)
C) \( 6 \)
D) \( 7 \)
\( 2A \) iki basamaklı bir doğal sayıdır. \( 2A \) sayısı ile \( 15 \) sayısı aralarında asal olduğuna göre \( A \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
A) \( 24 \)B) \( 26 \)
C) \( 28 \)
D) \( 30 \)
Kenar uzunlukları santimetre cinsinden aralarında asal birer tam sayı olan bir dikdörtgenin alanı \( 72 \text{ cm}^2 \) dir.
Buna göre bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç santimetredir?
B) \( 36 \)
C) \( 44 \)
D) \( 54 \)
Birbirinden farklı tam olarak \( 3 \) tane asal çarpanı olan en küçük üç basamaklı doğal sayı kaçtır?
A) \( 102 \)B) \( 105 \)
C) \( 110 \)
D) \( 120 \)
Bir bakkal, \( 48 \) litre zeytinyağı ile \( 60 \) litre ayçiçek yağını birbirine karıştırmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere dolduracaktır.
Bu iş için en az kaç şişeye ihtiyaç vardır?
B) \( 9 \)
C) \( 10 \)
D) \( 12 \)
Asal çarpanlarına ayrılmış şekli verilen \( A \) ve \( B \) sayıları şu şekildedir:
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5\) \]
\[ B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
Buna göre, bu iki sayının en büyük ortak böleni olan \( \text{EBOB}(A, B) \) kaçtır?
B) \( 18 \)
C) \( 36 \)
D) \( 72 \)
Kenar uzunlukları \( 54 \) metre ve \( 90 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.
Bu iş için en az kaç ağaç gereklidir?
B) \( 14 \)
C) \( 16 \)
D) \( 18 \)
En büyük ortak bölenleri \( 15 \) olan iki basamaklı iki farklı doğal sayının toplamı en az kaçtır?
A) \( 30 \)B) \( 45 \)
C) \( 60 \)
D) \( 75 \)
Uzunlukları \( 120 \) cm, \( 150 \) cm ve \( 180 \) cm olan üç demir çubuk, boyları birbirine eşit ve mümkün olan en büyük uzunlukta parçalara ayrılacaktır.
Buna göre, elde edilen toplam parça sayısı kaçtır?
B) \( 15 \)
C) \( 18 \)
D) \( 20 \)
İki zilden birincisi \( 12 \) dakikada bir, ikincisi ise \( 18 \) dakikada bir çalmaktadır.
Bu iki zil ilk kez saat 08.00'de birlikte çaldığına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte çalarlar?
B) 08.30
C) 08.36
D) 09.12
Bir çiçekçi elindeki gülleri sekizerli ve onarlı gruplara ayırdığında her seferinde \( 5 \) gül artmaktadır.
Çiçekçideki güllerin sayısı \( 100 \) 'den fazla olduğuna göre, bu çiçekçide en az kaç gül vardır?
B) \( 125 \)
C) \( 135 \)
D) \( 165 \)
Asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıda verilen \( A \) ve \( B \) sayılarının en küçük ortak katı kaçtır?
\[ A \(= 2\) ^ \(3 \cdot 3\) ^ \(2 \cdot 5\) \] \[ B \(= 2\) ^ \(2 \cdot 3\) ^ \(3 \cdot 7\) \]
B) \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \)
C) \( 2^5 \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7 \)
D) \( 2^3 \cdot 3^3 \)
Kenar uzunlukları \( 15 \text{ cm} \) ve \( 18 \text{ cm} \) olan dikdörtgen şeklindeki kartonlar yan yana ve alt alta dizilerek bir kare oluşturulacaktır.
Buna göre oluşturulabilecek en küçük karenin bir kenar uzunluğu kaç santimetredir?
B) \( 90 \)
C) \( 120 \)
D) \( 180 \)
Dairesel bir pist etrafında koşmaya başlayan iki koşucudan birincisi bir turu \( 45 \) saniyede, ikincisi ise \( 60 \) saniyede tamamlamaktadır.
Aynı noktadan aynı anda ve aynı yöne doğru koşmaya başlayan bu iki koşucu, en az kaç saniye sonra başlangıç noktasında tekrar yan yana gelirler?
B) \( 150 \)
C) \( 180 \)
D) \( 240 \)
\( a \) ve \( b \) aralarında asal iki doğal sayıdır.
\[ a \(\cdot\) b \(= 72\) \] olduğuna göre, \( a + b \) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
B) \( 18 \)
C) \( 22 \)
D) \( 73 \)
\( x - 2 \) ve \( y + 3 \) aralarında asal iki doğal sayıdır.
\[\(\frac{x - 2}{y + 3} = \frac{20}{35}\) \] olduğuna göre, \( x + y \) toplamı kaçtır?
B) \( 10 \)
C) \( 12 \)
D) \( 15 \)
\( 18 \) sayısı ile aralarında asal olan ve \( 18 \) 'den küçük kaç tane pozitif tam sayı vardır?
A) \( 5 \)B) \( 6 \)
C) \( 7 \)
D) \( 8 \)
\( 2A \) iki basamaklı bir doğal sayıdır.
\( 2A \) sayısı ile \( 15 \) sayısı aralarında asal olduğuna göre, \( A \) yerine yazılabilecek farklı rakamların toplamı kaçtır?
B) \( 24 \)
C) \( 28 \)
D) \( 30 \)
Bir okuldaki iki farklı 8. sınıf şubesinde bulunan öğrenci sayıları aralarında asaldır. Bu şubelerden biri olan 8-A sınıfında \( 24 \) öğrenci olduğuna göre, diğer şube olan 8-B sınıfındaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( 21 \)B) \( 25 \)
C) \( 26 \)
D) \( 27 \)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/6655-8-sinif-lgs-carpanlari-bulma-test-coz-wci9