✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

9. Sınıf Öklid bağıntıları, Benzerlik ve Pisagor teoremi Test Çöz

SORU 1

Köşeleri \(A(2, 1)\), \(B(2, 7)\) ve \(C(10, 1)\) olan bir \(ABC\) üçgeni veriliyor. Bu üçgenin çevresi kaç birimdir?

A) \(20\)
B) \(22\)
C) \(24\)
D) \(26\)
E) \(28\)
Açıklama:

Verilen üçgenin kenar uzunluklarını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanabiliriz. Ancak, köşelerin koordinatlarına bakıldığında \(A\) ve \(B\) noktalarının \(x\) -koordinatları aynı (\(2\)), \(A\) ve \(C\) noktalarının \(y\) -koordinatları aynı (\(1\)). Bu durum, \(A\) köşesinde bir dik açı olduğunu gösterir, yani \(AB\) kenarı dikey ve \(AC\) kenarı yataydır.

  • \(AB\) kenarının uzunluğu (dikey): \(|7 - 1| = 6\) birim.
  • \(AC\) kenarının uzunluğu (yatay): \(|10 - 2| = 8\) birim.

Bu bir dik üçgen olduğu için, hipotenüs olan \(BC\) kenarının uzunluğunu Pisagor Teoremi kullanarak bulabiliriz:

Pisagor Teoremi: Hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir. \(a^2 + b^2 = c^2\)

  • \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
  • \(BC^2 = 6^2 + 8^2\)
  • \(BC^2 = 36 + 64\)
  • \(BC^2 = 100\)
  • \(BC = \sqrt{100} = 10\) birim.

Üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır:

Çevre \(=\) \(AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24\) birim.

Sonuç olarak, üçgenin çevresi 24 birimdir.

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

Öklid Bağıntıları

Merhaba 9. Sınıf Matematik öğrencileri! Bu notumuzda, geometrinin temel taşlarından biri olan Öklid Bağıntıları konusunu derinlemesine inceleyeceğiz. Bu bağıntılar, özellikle dik üçgenlerde kenarlar ve yükseklik arasındaki ilişkileri anlamamızı sağlar. Hazırsanız, bu güçlü araçları öğrenmeye başlayalım! 🚀

Dik Üçgende Kenar ve Yükseklik İlişkileri

Bir dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan üçgenler arasındaki benzerlik ilişkilerinden yola çıkarak Öklid Bağıntıları elde edilir. Bu bağıntılar, üçgenin kenar uzunluklarını ve yüksekliğini hesaplamak için oldukça kullanışlıdır.

Temel Bağıntılar

Öklid'in Yükseklik Bağıntısı

Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına eşittir.

Varsayalım ki bir \(ABC\) dik üçgenimiz var ve \(C\) açısı \(90^{\circ}\). \(CD\), \(AB\) kenarına ait yükseklik olsun. \(D\) noktası \(AB\) kenarını \(AD\) ve \(DB\) olarak iki parçaya ayırsın. Bu durumda:

$ \( |CD|^2 = |AD| \cdot |DB| \) \(

Öklid'in Kenar Bağıntısı

Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri, hipotenüsün tamamı ile bu kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün uzunluğunun çarpımına eşittir.

Aynı \) ABC \( dik üçgeni için:

Özet Tablosu

Bağıntı Adı Formül Açıklama
Yükseklik Bağıntısı \) h^ \(2 =\) p \(\cdot\) q \( Yüksekliğin karesi, hipotenüs parçalarının çarpımı.
Kenar Bağıntısı (\) a \() \) a^ \(2 =\) c \(\cdot\) p \( Dik kenarın karesi, hipotenüs ile kendi izdüşümünün çarpımı.
Kenar Bağıntısı (\) b \() \) b^ \(2 =\) c \(\cdot\) q \( Diğer dik kenarın karesi, hipotenüs ile kendi izdüşümünün çarpımı.

Burada \) h \(, hipotenüse ait yükseklik; \) p \( ve \) q \(, yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalar; \) a \( ve \) b \(, dik kenarlar; \) c \( ise hipotenüsün tamamıdır.

📌 Önemli Not: Bu bağıntılar sadece dik üçgenler için geçerlidir.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Yüksekliği Hesaplama

Bir dik üçgende, dikten hipotenüse indirilen yükseklik hipotenüsü \) 4 \( cm ve \) 9 \( cm uzunluklarındaki iki parçaya ayırmaktadır. Bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm:

Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanacağız: \) h^ \(2 =\) p \(\cdot\) q \(. Burada \) p \(= 4\) \( cm ve \) q \(= 9\) \( cm'dir.

\) \( h^2 = 4 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} \) \(

\) \( h^2 = 36 \text{ cm}^2 \) \(

Her iki tarafın karekökünü alırsak:

\) \( h = \sqrt{36 \text{ cm}^2} \) \(

\) \( h = 6 \text{ cm} \) \(

Yüksekliğin uzunluğu \) 6 \( cm'dir. ✅

Örnek 2: Kenar Uzunluğunu Hesaplama

Şekildeki \) ABC \( dik üçgeninde, \) AC \( dik kenarı \) 12 \( cm'dir. Yükseklik, hipotenüsü \) AD \(= 9\) \( cm ve \) DB \(=\) x \( cm olarak ayırmıştır. \) BC \( kenarının uzunluğunu bulunuz.

(Varsayımsal olarak \) AB \( hipotenüsünün tamamı \) c \(= 9+\) x \( olacaktır.)

Çözüm:

Önce \) AC \( kenarına ait Öklid bağıntısını kullanarak hipotenüsün tamamını veya \) DB \( parçasını bulabiliriz. Ancak daha doğrudan bir yol izleyelim:

Öklid'in kenar bağıntısını kullanalım: \) |AC|^ \(2 =\) |AB| \(\cdot\) |AD| \(.

Burada \) |AC| \(= 12\) \( cm ve \) |AD| \(= 9\) \( cm.

\) \( (12 \text{ cm})^2 = |AB| \cdot 9 \text{ cm} \) \(

\) \( 144 \text{ cm}^2 = |AB| \cdot 9 \text{ cm} \) \(

\) \( |AB| = \frac{144 \text{ cm}^2}{9 \text{ cm}} = 16 \text{ cm} \) \(

Hipotenüsün tamamı \) |AB| \(= 16\) \( cm'dir. Hipotenüsün \) DB \( parçası ise \) x \(=\) |AB| - |AD| \(= 16 \text{ cm} - 9 \text{ cm} = 7\) \( cm olur.

Şimdi \) BC \( kenarını bulmak için Öklid'in diğer kenar bağıntısını kullanabiliriz: \) |BC|^ \(2 =\) |AB| \(\cdot\) |DB| \(.

\) \( |BC|^2 = 16 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} \) \(

\) \( |BC|^2 = 112 \text{ cm}^2 \) \(

\) \( |BC| = \sqrt{112} \text{ cm} = \sqrt{16 \cdot 7} \text{ cm} = 4\sqrt{7} \text{ cm} \) \(

\) BC \( kenarının uzunluğu \) \(4\sqrt{7}\) $ cm'dir. 💡

" }