Karekök Fonksiyonu
Karekök Fonksiyonunun Tanımı ve Özellikleri
Karekök fonksiyonu, reel sayılarda tanımlı olan ve negatif olmayan reel sayılardan yine negatif olmayan reel sayılara giden bir fonksiyondur. \(f(x) = \sqrt{x}\) şeklinde gösterilir. Bu fonksiyonun en temel özelliği, kendisine verilen sayının karekökünü almasıdır.
📌 Tanım Kümesi: Karekök fonksiyonunda kök içi ifade negatif olamaz. Bu nedenle, tanım kümesi \(x \ge 0\) olan tüm reel sayılardır. Yani, \(T.K. = [0, ∞)\) 'dir.
💡 Görüntü Kümesi: Karekök fonksiyonunun sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır. Bu nedenle, görüntü kümesi yine \(y \ge 0\) olan tüm reel sayılardır. Yani, \(G.K. = [0, ∞)\) 'dir.
Karekök Fonksiyonunun Grafiği
Karekök fonksiyonunun grafiği, \((0, 0)\) noktasından başlayan ve sağ yukarı doğru uzanan bir eğridir. Bu grafik, \(y = x^2\) fonksiyonunun \(y = x\) doğrusuna göre simetriğidir (sadece \(x \ge 0\) için).
- Grafik, orijinden başlar.
- Grafik, birinci bölgede yer alır.
- Grafik, artan bir fonksiyondur.
Karekök Fonksiyonunun Temel Özellikleri
Karekök fonksiyonu ile ilgili bilinmesi gereken bazı önemli özellikler şunlardır:
- \(\sqrt{a^2} = |a|\)
- \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) (Burada \(a \ge 0\) ve \(b \ge 0\) olmalıdır.)
- \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}}\) (Burada \(a \ge 0\) ve \(b > 0\) olmalıdır.)
- \(\sqrt{a+b} e \sqrt{a} + \sqrt{b}\) (Genellikle bu eşitlik sağlanmaz.)
- \(\sqrt{a-b} e \sqrt{a} - \sqrt{b}\) (Genellikle bu eşitlik sağlanmaz.)
Karekök Fonksiyonunda İşlemler
Karekök içeren ifadelerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılırken dikkatli olunmalıdır.
- Toplama ve Çıkarma: Karekök içleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir. \(α \sqrt{x} + \beta \sqrt{x} = (α + \beta) \sqrt{x}\)
- Çarpma: Karekök içleri çarpılabilir. \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\)
- Bölme: Karekök içleri bölünebilir. \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}}\)
Unutmayın: Karekök alma işlemi, negatif sayılar için reel sayılarda tanımlı değildir. Her zaman kök içinin pozitif veya sıfır olduğundan emin olun.
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1
Aşağıdaki ifadenin değerini hesaplayınız: \(\sqrt{16} + \sqrt{9} - \sqrt{25}\)
Çözüm:
Kareköklerin değerlerini hesaplayalım:
- \(\sqrt{16} = 4\)
- \(\sqrt{9} = 3\)
- \(\sqrt{25} = 5\)
Şimdi bu değerleri ifadede yerine koyalım:
\(4 + 3 - 5 = 7 - 5 = 2\)
Sonuç: \(2\)
Örnek 2
Verilen \(f(x) = \sqrt{x-3}\) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Karekök fonksiyonunun tanımı gereği, kök içi ifade negatif olamaz. Bu nedenle:
\(x-3 \ge 0\)
Bu eşitsizliği çözersek:
\(x \ge 3\)
Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi \(T.K. = [3, ∞)\) 'dir.
🚀 Başarılar dilerim!
\(f(x) = \sqrt{3x-12}\) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-∞, 4]\)B) \((-∞, -4]\)
C) \([4, ∞)\)
D) \([-4, ∞)\)
E) \((0, ∞)\)
\(f(x) = \sqrt{x-5} + 7\) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) \(0\)B) \(5\)
C) \(7\)
D) \(12\)
E) Tanımsız
\(\sqrt{2x+7} = 5\) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
A) \(4\)B) \(9\)
C) \(18\)
D) \(25\)
E) \(32\)
\(f(x) = \sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiği, \(g(x) = \sqrt{x-3} + 2\) fonksiyonunun grafiğini elde etmek için nasıl ötelenmelidir?
A) \(3\) birim sağa, \(2\) birim yukarıB) \(3\) birim sola, \(2\) birim yukarı
C) \(3\) birim sağa, \(2\) birim aşağı
D) \(3\) birim sola, \(2\) birim aşağı
E) \(2\) birim sağa, \(3\) birim yukarı
\(\sqrt{x+4} \le 3\) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([-4, 5]\)B) \((-∞, 5]\)
C) \([-4, ∞)\)
D) \([5, ∞)\)
E) \((-∞, -4]\)
\(f(x) = \frac{3x+1}{x^2 - 4x - 12}\) rasyonel fonksiyonunu tanımsız yapan \(x\) değerlerinin toplamı kaçtır?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
\(\frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}\) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{x-3}{x+1}\)B) \(\frac{x+3}{x-1}\)
C) \(\frac{x+3}{x+1}\)
D) \(\frac{x-3}{x-1}\)
E) \(1\)
\(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}\) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{5x-1}{x^2-1}\)B) \(\frac{5x+1}{x^2-1}\)
C) \(\frac{x+5}{x^2-1}\)
D) \(\frac{x-5}{x^2-1}\)
E) \(\frac{5x-1}{(x-1)(x+1)}\)
\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \div \frac{x+2}{x-1}\) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{x-2}{x+2}\)B) \(\frac{x+2}{x-2}\)
C) \(\frac{x-1}{x+1}\)
D) \(\frac{x+1}{x-1}\)
E) \(1\)
\(\frac{x}{x-2} + \frac{1}{2-x} = 3\) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
A) \(\frac{3}{2}\)B) \(2\)
C) \(\frac{5}{2}\)
D) \(3\)
E) \(4\)
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bir karesel fonksiyondur?
A) \(f(x) = 3x - 5\)B) \(g(x) = x^3 - 2x^2 + 1\)
C) \(h(x) = \frac{1}{x^2} + 4x - 7\)
D) \(k(x) = (x-2)(x+3)\)
E) \(m(x) = \sqrt{x} + 6x - 1\)
\(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((2, 1)\)B) \((-2, -15)\)
C) \((2, -7)\)
D) \((-2, 1)\)
E) \((1, 2)\)
\(f(x) = x^2 - 6x + m\) karesel fonksiyonunun \(x\) -eksenini farklı iki noktada kesmesi için \(m\) hangi aralıkta olmalıdır?
A) \(m > 9\)B) \(m < 9\)
C) \(m = 9\)
D) \(m \le 9\)
E) \(m \ge 9\)
\(f(x) = (a-1)x^2 + 2x - 5\) fonksiyonunun grafiği aşağıya doğru açılan bir parabol olduğuna göre, \(a\) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) \(a > 1\)B) \(a < 1\)
C) \(a = 1\)
D) \(a > 0\)
E) \(a < 0\)
Tepe noktası \(T(1, -4)\) olan ve \((0, -3)\) noktasından geçen karesel fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(f(x) = (x-1)^2 - 4\)B) \(f(x) = x^2 - 2x - 3\)
C) \(f(x) = -(x-1)^2 - 4\)
D) \(f(x) = 2(x-1)^2 - 4\)
E) \(f(x) = (x+1)^2 - 4\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/850-10-sinif-karekok-fonksiyonu-rasyonel-fonksiyon-ve-karesel-fonksiyon-test-coz-3472