✨ Konuları Gir, Yapay Zeka Saniyeler İçinde Sınavını Üretsin!

9. Sınıf Eşlik ve Benzerlik Test Çöz

SORU 1

\(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri eş üçgenlerdir. Yani \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir. \(AB = (3x - 5)\) cm, \(DE = 10\) cm'dir. \(BC = (y + 2)\) cm, \(EF = 15\) cm'dir. \(AC = (z + 1)\) cm, \(DF = 18\) cm'dir. Buna göre, \(x+y+z\) toplamı kaçtır?

A) \(25\)
B) \(28\)
C) \(30\)
D) \(32\)
E) \(35\)
Açıklama:

İki üçgenin eş olması, karşılıklı kenarlarının ve açılarının eşit olması anlamına gelir. Verilen eşlik \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ise, karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir:

\(AB = DE\) olduğu için \(3x - 5 = 10\) denklemini çözeriz:

\(3x = 10 + 5\)

\(3x = 15\)

\(x = \frac{15}{3}\)

\(x = 5\)

\(BC = EF\) olduğu için \(y + 2 = 15\) denklemini çözeriz:

\(y = 15 - 2\)

\(y = 13\)

\(AC = DF\) olduğu için \(z + 1 = 18\) denklemini çözeriz:

\(z = 18 - 1\)

\(z = 17\)

Son olarak, bizden \(x+y+z\) toplamı istenmektedir:

\(x+y+z = 5 + 13 + 17 = 35\)

Ancak şıklarda \(35\) yok. Tekrar kontrol edelim. \(x=5\), \(y=13\), \(z=17\). Toplamları \(5+13+17 = 35\). Burada bir hata var. Sorunun veya şıkların tekrar düzenlenmesi gerekiyor. Şıkları kontrol edelim: \(25, 28, 30, 32, 35\). \(35\) şıklar arasında mevcut. Doğru cevap \(35\) olmalıdır. Şıklarda \(35\) var, dolayısıyla doğru şık \(E\) olmalıdır. Kontrol: \(x+y+z = 5+13+17 = 35\). Doğru şık \(E\) olmalıydı. Soruyu düzeltiyorum. [CORRECT] E

Bu Sınavı paylaş: WhatsApp Facebook X (Twitter)

📌 Eşlik ve Benzerlik: 9. Sınıf Matematik Ders Notu

Temel Kavramlar

Geometride eşlik ve benzerlik, şekiller arasındaki ilişkileri anlamamızı sağlayan iki önemli kavramdır. Bu iki kavram birbirine benzese de aralarında temel farklar bulunur.

Eşlik (Congruence)

İki geometrik şeklin eş olması, onların her bakımdan birebir aynı olması anlamına gelir. Yani, karşılıklı kenar uzunlukları eşit, karşılıklı açıları eşittir. Birbirinin aynası gibi düşünebilirsiniz.

Üçgenlerde Eşlik

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki eşlik kurallarından en az biri sağlanmalıdır:

Eş üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir ve karşılıklı açıları eşittir. Eğer \(\triangle ABC\) üçgeni, \(\triangle DEF\) üçgenine eş ise, bunu \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) şeklinde gösteririz. Bu durumda \( |AB| = |DE| \), \( |BC| = |EF| \), \( |AC| = |DF| \) ve \( m(\angle A) = m(\angle D) \), \( m(\angle B) = m(\angle E) \), \( m(\angle C) = m(\angle F) \) olur.

Benzerlik (Similarity)

İki geometrik şeklin benzer olması, şekillerin aynı oranda büyütülmüş veya küçültülmüş halleri olması anlamına gelir. Karşılıklı açıları eş, karşılıklı kenar uzunlukları ise orantılıdır.

Üçgenlerde Benzerlik

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki benzerlik kurallarından en az biri sağlanmalıdır:

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki oran sabittir. Bu orana benzerlik oranı denir ve genellikle \( k \) harfi ile gösterilir. Eğer \(\triangle ABC\) üçgeni, \(\triangle DEF\) üçgenine benzer ise, bunu \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) şeklinde gösteririz. Bu durumda \( m(\angle A) = m(\angle D) \), \( m(\angle B) = m(\angle E) \), \( m(\angle C) = m(\angle F) \) ve \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \) olur.

Eşlik ve Benzerlik Farkı

💡 Temel Fark: Eşlikte kenar uzunlukları eşittir (\( k=1 \)), benzerlikte ise kenar uzunlukları orantılıdır (\( k \) herhangi bir pozitif reel sayı olabilir).

✅ Her eş şekil aynı zamanda benzerdir (benzerlik oranı \( k=1 \) olan benzerdir), ancak her benzer şekil eş olmak zorunda değildir.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Eş Üçgenler

Şekilde verilen \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri eş üçgenlerdir. \( |AB| = \) \( 8 \) cm, \( |BC| = \) \( 10 \) cm ve \( m(\angle B) = \) \( 50^{\circ} \) ise, \( |EF| \) ve \( m(\angle E) \) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Üçgenlerin eş olduğu belirtildiği için, karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açıları eşittir. Eğer \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ise, bu şu anlama gelir:

  • \( |AB| = |DE| \)
  • \( |BC| = |EF| \)
  • \( |AC| = |DF| \)
  • \( m(\angle A) = m(\angle D) \)
  • \( m(\angle B) = m(\angle E) \)
  • \( m(\angle C) = m(\angle F) \)

Verilenlere göre \( |BC| = 10 \) cm olduğundan, \( |EF| \) de \( 10 \) cm olmalıdır. Ayrıca \( m(\angle B) = 50^{\circ} \) olduğundan, \( m(\angle E) \) de \( 50^{\circ} \) olmalıdır.

Cevap: \( |EF| = 10 \) cm, \( m(\angle E) = 50^{\circ} \)

Örnek 2: Benzer Üçgenler

Bir ABC üçgeninde \( |AB| = \) \( 6 \) cm, \( |BC| = \) \( 9 \) cm ve \( |AC| = \) \( 12 \) cm'dir. Bu üçgenle benzer olan ve kenar uzunlukları sırasıyla \( 2 \), \( 3 \) ve \( 4 \) cm olan DEF üçgeninin kenarlarını bulunuz. Benzerlik oranı nedir?

Çözüm:

İki üçgenin benzer olması için kenar uzunluklarının orantılı olması gerekir. ABC üçgeninin kenarları \( 6, 9, 12 \) cm'dir. DEF üçgeninin kenarları \( 2, 3, 4 \) cm'dir. Bu kenarlar arasındaki oranı kontrol edelim:

\( \frac{6}{2} = 3 \)

\( \frac{9}{3} = 3 \)

\( \frac{12}{4} = 3 \)

Tüm kenar uzunlukları arasındaki oran \( 3 \) 'tür. Bu, ABC üçgeninin DEF üçgenine benzer olduğunu ve benzerlik oranının \( k = 3 \) olduğunu gösterir. (Veya DEF üçgeninin ABC üçgenine benzer olduğunu ve benzerlik oranının \( k = \frac{1}{3} \) olduğunu da söyleyebiliriz, bu tanıma bağlıdır. Genellikle büyükten küçüğe veya karşılıklı kenarların oranı şeklinde ifade edilir.)

Bu durumda \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) (veya \( \triangle ABC \sim \triangle D'E'F' \) gibi karşılık gelen kenarlara göre isimlendirme yapılırsa) ve benzerlik oranı \( k = 3 \) 'tür. DEF üçgeninin kenarları \( 2 \) cm, \( 3 \) cm ve \( 4 \) cm'dir.

Cevap: DEF üçgeninin kenarları \( 2 \) cm, \( 3 \) cm ve \( 4 \) cm'dir. Benzerlik oranı \( k = 3 \) 'tür.

🚀 Başarılar dilerim!