Üçgenler, Dönüşümler ve Eşlik-Benzerlik: 9. Sınıf Matematik Sınav Notları
Sevgili 9. Sınıf Öğrencileri,
Bu notlar, üçgenler, dönüşümler ve eşlik-benzerlik konularındaki bilgilerinizi pekiştirmenize yardımcı olmak amacıyla hazırlanmıştır. Sınavda karşınıza çıkabilecek temel kavramları ve kuralları gözden geçireceğiz. 🚀
1. Üçgenler
Üçgen: Düzlemde birbirine sabit uzunlukta 3 doğru parçasının birleşmesiyle oluşan kapalı şekle üçgen denir. Üçgenin 3 kenarı, 3 köşesi ve 3 iç açısı vardır. İç açılarının toplamı her zaman \(180^\circ\) 'dir.
- Kenarlarına Göre Üçgenler:
- Eşkenar Üçgen: Tüm kenar uzunlukları eşit (\(a=b=c\)) ve tüm iç açıları eşit (\(60^\circ\)) olan üçgendir.
- İkizkenar Üçgen: İki kenar uzunluğu eşit olan üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.
- Çeşitkenar Üçgen: Tüm kenar uzunlukları farklı olan üçgendir. Açıları da farklıdır.
- Açılarına Göre Üçgenler:
- Dar Açılı Üçgen: Tüm iç açıları \(90^\circ\) 'den küçük olan üçgendir.
- Dik Açılı Üçgen: Bir iç açısı \(90^\circ\) olan üçgendir. \(90^\circ\) 'lik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenarlar denir. Pisagor teoremi (\(a^2 + b^2 = c^2\)) dik üçgenlerde kullanılır.
- Geniş Açılı Üçgen: Bir iç açısı \(90^\circ\) 'den büyük olan üçgendir.
Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük; farkı ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür. Eğer kenar uzunlukları \(a, b, c\) ise: \(|a-b| < c < a+b\), \(|a-c| < b < a+c\), \(|b-c| < a < b+c\). 📌
2. Dönüşümler
Dönüşüm: Bir geometrik şeklin konumunu, yönünü veya büyüklüğünü değiştiren işlem olarak tanımlanabilir. Başlıca dönüşüm türleri şunlardır:
- Öteleme: Bir şeklin doğrusal bir vektör boyunca kaydırılmasıdır. Şeklin boyutu ve yönü değişmez.
- Yansıma (Simetri): Bir doğruya veya noktaya göre şeklin görüntüsünün alınmasıdır.
- Döndürme: Bir nokta etrafında belirli bir açıyla yapılan harekettir.
Bu dönüşümler, şeklin eşliğini korur. Yani öteleme, yansıma ve döndürme sonucunda elde edilen şekiller, orijinal şekle eş olur.
3. Eşlik ve Benzerlik
Eşlik: İki geometrik şeklin hem karşılıklı kenar uzunluklarının hem de karşılıklı açı ölçülerinin eşit olması durumudur. Eş şekiller, üst üste konulduğunda tamamen çakışır. Sembolü \(\cong\) 'dir. Eğer \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ise:
- \(|AB| = |DE|\), \(|BC| = |EF|\), \(|AC| = |DF|\)
- \(m(\angle A) = m(\angle D)\), \(m(\angle B) = m(\angle E)\), \(m(\angle C) = m(\angle F)\)
Benzerlik: İki geometrik şeklin karşılıklı açı ölçülerinin eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması durumudur. Benzer şekiller, aynı formda ancak farklı boyutlarda olabilir. Sembolü \(\sim\) 'dir. Eğer \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) ise:
- \(m(\angle A) = m(\angle D)\), \(m(\angle B) = m(\angle E)\), \(m(\angle C) = m(\angle F)\)
- \(\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k\) (burada \(k\) benzerlik oranıdır)
Üçgenlerde Benzerlik Durumları:
- Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin ikişer açısı eş ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
💡 Benzerlikte, şeklin boyutu değişebilir ama şekli aynı kalır. Eşlik ise şeklin hem boyutu hem de şekli aynıdır.
Özetle: Eşlik, benzerliğin özel bir halidir (benzerlik oranı \(k=1\) iken).
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
-
Soru 1: Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı \(80^\circ\) 'dir. Buna göre, diğer iki açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm: İkizkenar üçgende tepe açısı \(80^\circ\) ise, taban açıları birbirine eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, taban açılarının her birinin ölçüsü \((180^\circ - 80^\circ) / 2 = 100^\circ / 2 = 50^\circ\) olur. Yani açılar \(80^\circ, 50^\circ, 50^\circ\) 'dir. ✅
-
Soru 2: \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri verilsin. \(m(\angle A) = 70^\circ\), \(m(\angle B) = 50^\circ\), \(m(\angle D) = 70^\circ\) ve \(m(\angle E) = 50^\circ\) 'dir. Bu iki üçgen arasındaki ilişki nedir?
Çözüm: İlk olarak \(\triangle ABC\) 'nin üçüncü açısını bulalım: \(m(\angle C) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Benzer şekilde \(\triangle DEF\) 'nin üçüncü açısını bulalım: \(m(\angle F) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Karşılıklı açılar eşittir: \(m(\angle A) = m(\angle D) = 70^\circ\), \(m(\angle B) = m(\angle E) = 50^\circ\), \(m(\angle C) = m(\angle F) = 60^\circ\). Bu durumda, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) 'dir. Eğer kenar uzunlukları hakkında bilgi verilseydi, eşlik durumu da incelenebilirdi.
Bir \(ABC\) üçgeninde iç açılar \(\angle A = (2x)^\circ\), \(\angle B = (3x - 10)^\circ\) ve \(\angle C = (x + 40)^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre \(x\) değeri kaçtır?
A) \(20^\circ\)B) \(25^\circ\)
C) \(30^\circ\)
D) \(35^\circ\)
E) \(40^\circ\)
Bir üçgenin iki kenar uzunluğu \(7\) cm ve \(12\) cm'dir. Buna göre, bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) \(6\) cmB) \(10\) cm
C) \(15\) cm
D) \(18\) cm
E) \(20\) cm
Bir \(ABC\) üçgeninde \(AB = AC\) ve \(\angle B = (2x + 10)^\circ\), \(\angle C = (3x - 20)^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre \(\angle A\) açısı kaç derecedir?
A) \(40^\circ\)B) \(50^\circ\)
C) \(60^\circ\)
D) \(70^\circ\)
E) \(80^\circ\)
Bir \(ABC\) dik üçgeninde, \(B\) köşesi dik açıdır (\(\angle B = 90^\circ\)). Eğer \(AB = 6\) cm ve \(BC = 8\) cm ise, \(AC\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(12\)
E) \(14\)
Bir \(ABC\) üçgeninde \(\angle A = 50^\circ\) 'dir. \(B\) köşesindeki dış açı \(120^\circ\) olduğuna göre, \(\angle C\) açısı kaç derecedir?
A) \(50^\circ\)B) \(60^\circ\)
C) \(70^\circ\)
D) \(80^\circ\)
E) \(90^\circ\)
Koordinat düzleminde verilen bir \(A(-3, 7)\) noktası, \(\vec{v}=(5, -4)\) vektörü doğrultusunda öteleniyor. Bu öteleme sonucunda oluşan \(A'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-8, 11)\)B) \((2, 3)\)
C) \((-2, 3)\)
D) \((8, -11)\)
E) \((-2, 11)\)
Koordinat düzleminde verilen bir \(B(6, -2)\) noktasının \(y=x\) doğrusuna göre yansıması sonucunda oluşan \(B'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-6, 2)\)B) \((6, 2)\)
C) \((2, -6)\)
D) \((-2, 6)\)
E) \((-6, -2)\)
Koordinat düzleminde verilen bir \(C(4, -5)\) noktası, orijin etrafında saat yönünün tersine \(90^\circ\) döndürülüyor. Bu dönme sonucunda oluşan \(C'\) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-5, -4)\)B) \((5, 4)\)
C) \((-4, -5)\)
D) \((-5, 4)\)
E) \((5, -4)\)
Koordinat düzleminde verilen bir \(D(2, -1)\) noktası önce \(y\) -eksenine göre yansıtılıyor, ardından oluşan nokta \(\vec{u}=(-3, 4)\) vektörü doğrultusunda öteleniyor. Bu dönüşümler sonucunda oluşan son nokta \(D''\) 'nün koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-5, 3)\)B) \((-1, 3)\)
C) \((5, -5)\)
D) \((1, -5)\)
E) \((-5, 5)\)
Koordinat düzleminde bir \(E(x, y)\) noktası önce \(x\) -eksenine göre yansıtılıyor, ardından oluşan nokta \(\vec{w}=(3, -2)\) vektörü doğrultusunda ötelenerek \(E''(1, 5)\) noktası elde ediliyor. Buna göre, \(E\) noktasının başlangıçtaki koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-2, -7)\)B) \((4, -3)\)
C) \((-2, 7)\)
D) \((4, 3)\)
E) \((-4, -3)\)
\(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) eş üçgenlerdir. Eğer \(m(\angle A) = 50^\circ\), \(m(\angle B) = 70^\circ\) ve \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) ise, \(m(\angle F)\) kaç derecedir?
A) \(50\)B) \(60\)
C) \(70\)
D) \(80\)
E) \(90\)
Yandaki şekilde, \(AB // DE\), \(|AB|=6\) cm, \(|DE|=4\) cm ve \(|BC|=9\) cm ise, \(|CD|\) kaç cm'dir? (Şekilde, \(C\) noktası \(AD\) ve \(BE\) doğrularının kesişim noktası olup, \(A, C, D\) ve \(B, C, E\) noktaları doğrusaldır. \(\triangle ABC\) ve \(\triangle EDC\) üçgenleri oluşmaktadır.)
A) \(4\)B) \(5\)
C) \(6\)
D) \(7.5\)
E) \(8\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(DE // BC\) olacak şekilde \(D \in [AB]\) ve \(E \in [AC]\) noktaları işaretlenmiştir. Eğer \(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 3\) cm ise, \(|EC|\) kaç cm'dir?
A) \(4.5\)B) \(5\)
C) \(6\)
D) \(7.5\)
E) \(9\)
İki benzer üçgenin benzerlik oranı \(\frac{2}{3}\) 'tür. Küçük üçgenin alanı \(16\) \(cm^2\) olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç \(cm^2\) 'dir?
A) \(24\)B) \(32\)
C) \(36\)
D) \(48\)
E) \(64\)
Bir \(ABCD\) yamuğunda, \(AB // DC\) 'dir. Köşegenler \(AC\) ve \(BD\), \(K\) noktasında kesişmektedir. Eğer \(|AB| = 10\) cm, \(|DC| = 6\) cm ve \(|DK| = 3\) cm ise, \(|KB|\) kaç cm'dir?
A) \(4\)B) \(4.5\)
C) \(5\)
D) \(5.5\)
E) \(6\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/882-9-sinif-ucgen-donusum-eslik-ve-benzerlik-test-coz-tv5a