9. Sınıf Matematik - Eşlik, Benzerlik, Pisagor ve Öklid Teoremleri
📌 Eşlik ve Benzerlik Kavramları
Geometride eşlik ve benzerlik, şekillerin birbirleriyle olan ilişkilerini anlamak için temel taşlardır. İki şeklin eş olması, tüm boyutları ve açıları aynı olan kopyalar oldukları anlamına gelir. İki şeklin benzer olması ise, aynı şekle sahip oldukları ancak boyutlarının orantılı olarak farklı olabileceği anlamına gelir.
Eşlik (Congruence)
- İki geometrik şeklin eş olması için, karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri eşit olmalıdır.
- Sembolü: \(\cong\)
- Örnek: İki üçgenin eş olması için SSS (Kenar-Kenar-Kenar), KSK (Kenar-Açı-Kenar), AAK (Açı-Açı-Kenar) gibi eşlik kuralları incelenir.
Benzerlik (Similarity)
- İki geometrik şeklin benzer olması için, karşılıklı açı ölçüleri eşit ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır.
- Sembolü: \(\sim\)
- Orantı Sabiti: Benzer şekiller arasındaki kenar uzunluklarının oranıdır ve \(k\) ile gösterilir.
- Örnek: İki üçgenin benzer olması için AA (Açı-Açı) benzerlik kuralı en sık kullanılanlardan biridir.
💡 Tales Teoremi
Tales teoremi, paralel doğruların bir kesen üzerindeki orantılılık ilişkisini inceler. Özellikle üçgenlerde, bir kenara paralel çizilen doğrunun diğer kenarları orantılı olarak böldüğünü ifade eder.
Paralel doğrular, kestikleri farklı doğruları orantılı parçalara ayırır.
Üçgende bir kenara paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı böler. Eğer \(DE \parallel BC\) ise, \(\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}\) olur.
🚀 Öklid ve Pisagor Teoremleri
Bu teoremler, özellikle dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri açıklar.
Pisagor Teoremi
- Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formül: \(a^2 + b^2 = c^2\), burada \(a\) ve \(b\) dik kenarlar, \(c\) ise hipotenüstür.
Öklid Teoremleri (Yükseklik ve Kenar Bağıntıları)
- Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan üç küçük üçgen arasında da benzerlik ilişkileri vardır.
- Yükseklik Bağıntısı: \(h^2 = p \cdot k\), burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) ise hipotenüsün yükseklik tarafından ayrılan parçalarıdır.
- Kenar Bağıntıları: \(c^2 = p \cdot a\) ve \(b^2 = k \cdot a\), burada \(a\) hipotenüs, \(b\) ve \(c\) dik kenarlardır.
| Özellik | Formül | Açıklama |
|---|---|---|
| Pisagor | \(a^2 + b^2 = c^2\) | Dik üçgende kenar ilişkisi |
| Öklid (Yükseklik) | \(h^2 = p \cdot k\) | Hipotenüse ait yükseklik |
| Öklid (Kenar 1) | \(c^2 = p \cdot a\) | Dik kenar ve hipotenüs parçası |
| Öklid (Kenar 2) | \(b^2 = k \cdot a\) | Diğer dik kenar ve hipotenüs parçası |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Benzerlik ve Tales
Bir \(ABC\) üçgeninde \(DE \parallel BC\) olacak şekilde \(D\) noktası \(AB\) üzerinde ve \(E\) noktası \(AC\) üzerinde alınıyor. \(|AD| = 6\) cm, \(|DB| = 4\) cm ve \(|AE| = 9\) cm ise \(|EC|\) kaç cm'dir?
Çözüm:
Tales teoremi gereği, \(DE \parallel BC\) olduğunda \(\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}\) olur. Verilen değerleri yerine koyarsak:
\(\frac{6}{4} = \frac{9}{|EC|}\)
\(6 \cdot |EC| = 4 \cdot 9\)
\(6 \cdot |EC| = 36\)
\(|EC| = \frac{36}{6} = 6\) cm.
Örnek 2: Pisagor Teoremi
Dik kenar uzunlukları \(8\) cm ve \(15\) cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Pisagor teoremini kullanalım: \(a^2 + b^2 = c^2\). Burada \(a=8\) ve \(b=15\) 'dir. Hipotenüs \(c\) 'yi bulacağız.
\(8^2 + 15^2 = c^2\)
\(64 + 225 = c^2\)
\(289 = c^2\)
\(c = \sqrt{289}\)
\(c = 17\) cm.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) İki üçgenin eş olması için karşılıklı tüm kenar uzunluklarının ve tüm açılarının ölçülerinin eşit olması gerekir.B) Eş üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir.
C) Eş üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
D) İki üçgen eş ise, bu üçgenlerin alanları da eşittir.
E) Kenar uzunlukları \(3\) cm, \(4\) cm ve \(5\) cm olan bir üçgen ile kenar uzunlukları \(3\) cm, \(4\) cm ve \(6\) cm olan bir üçgen eştir.
Bir \(\triangle ABC\) üçgeni ile bir \(\triangle DEF\) üçgeni arasında \(ABC \cong DEF\) eşliği bulunmaktadır. Eğer \(m(\widehat{A}) = 50^\circ\), \(m(\widehat{B}) = 70^\circ\) ve \(|AB| = 8\) cm ise, \(\triangle DEF\) üçgeni için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(m(\widehat{D}) = 70^\circ\)B) \(m(\widehat{E}) = 50^\circ\)
C) \(|DE| = 8\) cm
D) \(|EF| = 8\) cm
E) \(m(\widehat{F}) = 50^\circ\)
Aşağıdaki durumlardan hangisinde iki üçgenin eş olduğu kesinlikle söylenemez?
A) Karşılıklı kenarları eşit uzunlukta olan üçgenler (KKK Eşlik Aksiyomu).B) Karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olan üçgenler (KAK Eşlik Aksiyomu).
C) Karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eşit olan üçgenler (AKA Eşlik Aksiyomu).
D) Karşılıklı iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarı eşit olan üçgenler (AAK Eşlik Teoremi).
E) Karşılıklı üç açısı eşit olan üçgenler (AAA Benzerlik Teoremi).
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde \(|AB| = |AC|\) ve \(m(\widehat{BAC}) = 80^\circ\) verilmiştir. Bir \(\triangle PQR\) üçgeninde ise \(|PQ| = |PR|\) ve \(m(\widehat{QPR}) = 80^\circ\) verilmiştir. Eğer \(|BC| = 10\) cm ise, \(\triangle PQR\) üçgeninin \(|QR|\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(5\)B) \(8\)
C) \(10\)
D) \(12\)
E) \(15\)
Yandaki şekilde \(ABCD\) ve \(AEFG\) birer karedir. Eğer \(|AB| = 5\) cm ve \(|AE| = 3\) cm ise, \(\triangle ADE\) ve \(\triangle ABC\) üçgenlerinin eşliği hakkında ne söylenebilir?
A) \(\triangle ADE \cong \triangle ABG\)B) \(\triangle ADE \cong \triangle CBG\)
C) \(\triangle ADE \cong \triangle AFG\)
D) \(\triangle ADE \cong \triangle ADC\)
E) \(\triangle ADE \cong \triangle CBE\)
Bir üçgenin kenar uzunlukları \(6\) cm, \(8\) cm ve \(10\) cm'dir. Bu üçgene benzer olan başka bir üçgenin en kısa kenarı \(9\) cm ise, bu ikinci üçgenin çevresi kaç cm'dir?
A) \(24\)B) \(30\)
C) \(36\)
D) \(40\)
E) \(45\)
\(\triangle ABC\) üçgeninde \(DE // BC\) olacak şekilde \(D\) noktası \([AB]\) üzerinde ve \(E\) noktası \([AC]\) üzerindedir. \(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 3\) cm olduğuna göre, \(|EC|\) kaç cm'dir?
A) \(3,5\)B) \(4\)
C) \(4,5\)
D) \(5\)
E) \(6\)
Alanları oranı \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{9}\) olan iki benzer üçgenin çevreleri oranı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{2}{3}\)B) \(\frac{4}{9}\)
C) \(\frac{8}{27}\)
D) \(\frac{16}{81}\)
E) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Bir dik üçgen olan \(\triangle ABC\) 'de \(m(\widehat{BAC}) = 90^\circ}\) ve \([AD] \perp [BC]\) 'dir. \(|AB| = 6\) cm ve \(|AC| = 8\) cm olduğuna göre, \(|BD|\) kaç cm'dir?
A) \(3,2\)B) \(3,6\)
C) \(4\)
D) \(4,8\)
E) \(5\)
Bir \(ABCD\) yamuğunda \(AB // DC\) 'dir. Köşegenleri \(K\) noktasında kesişmektedir. Eğer \(|AB| = 12\) cm ve \(|DC| = 8\) cm ise, \(\triangle ABK\) üçgeninin alanının \(\triangle CDK\) üçgeninin alanına oranı kaçtır?
A) \(\frac{2}{3}\)B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(\frac{4}{9}\)
D) \(\frac{9}{4}\)
E) \(\frac{16}{81}\)
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları \(6\) cm ve \(8\) cm ise hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(9\)B) \(10\)
C) \(12\)
D) \(14\)
E) \(15\)
Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu \(h\), bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları \(p\) ve \(k\) olsun. Eğer \(p = 4\) cm ve \(k = 9\) cm ise \(h\) kaç cm'dir?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
Şekilde \(DE \parallel BC\) olmak üzere, \(AD = 3\) cm, \(DB = 6\) cm ve \(AE = 4\) cm ise \(EC\) kaç cm'dir?
B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları \(x\) ve \(2x\) ise hipotenüsün uzunluğu \(5\sqrt{5}\) cm olduğuna göre, \(x\) kaç cm'dir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(6\)
E) \(7\)
Bir \(ABC\) dik üçgeninde \(A\) açısı dik açıdır. \(BC\) kenarına ait yükseklik \(AH\) olsun. Eğer \(BH = 2\) cm ve \(HC = 8\) cm ise \(AB\) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(4\)B) \(2\sqrt{5}\)
C) \(4\sqrt{5}\)
D) \(10\)
E) \(2\sqrt{10}\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/912-9-sinif-eslik-ve-benzerlik-tales-oklid-ve-pisagor-teoremleri-test-coz-nbm0