Eşlik ve Benzerlik Şartları & Bir Üçgene Benzer Üçgenler Oluşturma
Eşlik Nedir?
İki geometrik şeklin eş olması, tüm karşılıklı kenar uzunluklarının ve tüm karşılıklı açılarının birbirine eşit olması anlamına gelir. Eş şekiller, üst üste konulduğunda tamamen çakışırlar. 📌
Eşlik Şartları (Üçgenler İçin)
İki üçgenin eş olduğunu göstermek için tüm kenar ve açıları tek tek kontrol etmek yerine belirli şartları sağlamaları yeterlidir. Üçgenlerde 3 ana eşlik şartı vardır:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit ise bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.
Eşlik sembolü ile gösterilir: \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\). Bu, A köşesinin D köşesine, B köşesinin E köşesine ve C köşesinin F köşesine karşılık geldiği anlamına gelir.
Benzerlik Nedir?
İki geometrik şeklin benzer olması, karşılıklı açıların birbirine eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması anlamına gelir. Benzer şekiller aynı şekle sahiptir ancak boyutları farklı olabilir. 💡
Benzerlik Şartları (Üçgenler İçin)
İki üçgenin benzer olduğunu göstermek için de belirli şartlar kullanılır:
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısı birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir. Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olacaktır. Bu, en sık kullanılan benzerlik şartıdır.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise bu üçgenler benzerdir. Orantı sabiti \(k\) olsun.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Orantı sabiti \(k\) olur.
Benzerlik sembolü ile gösterilir: \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\). Bu, \(\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k\) ve \(m(\angle A) = m(\angle D)\), \(m(\angle B) = m(\angle E)\), \(m(\angle C) = m(\angle F)\) anlamına gelir. \(k\) oranı benzerlik oranıdır.
Bir Üçgene Benzer Üçgenler Oluşturma
Verilen bir \(\triangle ABC\) üçgenine benzer bir \(\triangle DEF\) üçgeni çizmek için şu adımlar izlenebilir:
- Öncelikle \(\triangle ABC\) 'nin açılarından ikisi ölçülür (örneğin \(\angle A\) ve \(\angle B\)).
- Çizilecek olan \(\triangle DEF\) 'nin bu açılara eşit iki açısı belirlenir (örneğin \(\angle D = \angle A\) ve \(\angle E = \angle B\)).
- İsteğe bağlı olarak bir kenar uzunluğu (örneğin \(|DE|\)) belirlenir. Bu kenarın uzunluğu, \(\triangle ABC\) 'nin karşılık gelen kenarı \(|AB|\) ile orantılı olacak şekilde seçilir. Orantı sabiti \(k\) olarak alınırsa, \(|DE| = k \cdot |AB|\) olur.
- AA benzerlik kuralı gereği \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) olur. Diğer kenar uzunlukları da aynı \(k\) oranıyla bulunur: \(|EF| = k \cdot |BC|\) ve \(|DF| = k \cdot |AC|\).
Alternatif olarak, KKK veya KAK benzerlik kuralları da kullanılabilir. Örneğin, \(\triangle ABC\) 'nin kenarlarının orantılı olarak ölçeklenmiş yeni kenar uzunlukları \((k \cdot |AB|, k \cdot |BC|, k \cdot |AC|)\) ile bir üçgen çizilebilir (KKK benzerliği).
Önemli Not: Eşlikte benzerlik oranı \(k=1\) 'dir. Benzerlikte ise \(k \ eq 1\) olabilir. ✅
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1 (Eşlik - KKK)
Kenar uzunlukları \(7\) cm, \(8\) cm ve \(10\) cm olan bir \(\triangle ABC\) ile kenar uzunlukları \(10\) cm, \(8\) cm ve \(7\) cm olan bir \(\triangle DEF\) veriliyor. Bu iki üçgen eş midir? Neden?
Çözüm:
\(\triangle ABC\) 'nin kenar uzunlukları \(a=|BC|=7\), \(b=|AC|=8\), \(c=|AB|=10\) 'dur.
\(\triangle DEF\) 'nin kenar uzunlukları \(d=|EF|=10\), \(e=|DF|=8\), \(f=|DE|=7\) 'dir.
Karşılıklı kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
- \(|AB|=10\) cm ve \(|EF|=10\) cm
- \(|AC|=8\) cm ve \(|DF|=8\) cm
- \(|BC|=7\) cm ve \(|DE|=7\) cm
Tüm karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğundan (yani \(|AB|=|EF|\), \(|AC|=|DF|\), \(|BC|=|DE|\)), KKK eşlik şartı gereği \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 'dir. (Dikkat: Köşe eşleştirmesine dikkat edilmeli, örneğin \(\triangle ABC \cong \triangle FDE\) şeklinde yazılabilir.) 🚀
Örnek 2 (Benzerlik - AA)
Bir \(\triangle PQR\) 'de \(m(\angle P) = 50^\circ\) ve \(m(\angle Q) = 70^\circ\) 'dir. Bir \(\triangle XYZ\) 'de \(m(\angle X) = 60^\circ\) ve \(m(\angle Y) = 70^\circ\) 'dir. Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse, benzerlik oranını nasıl ifade edersiniz?
Çözüm:
Önce \(\triangle PQR\) 'nin üçüncü açısını bulalım: \(m(\angle R) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Şimdi açıları karşılaştıralım:
- \(m(\angle P) = 50^\circ\) ve \(m(\angle X) = 60^\circ\) (Eşit değil)
- \(m(\angle Q) = 70^\circ\) ve \(m(\angle Y) = 70^\circ\) (Eşit)
- \(m(\angle R) = 60^\circ\) ve \(m(\angle X) = 60^\circ\) (Eşit)
İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğu için (\(\angle Q = \angle Y\) ve \(\angle R = \angle X\)), AA benzerlik kuralı gereği \(\triangle PQR \sim \triangle YXZ\) 'dir. (Köşe eşleştirmesi önemlidir: \(\angle P \leftrightarrow \angle Z\), \(\angle Q \leftrightarrow \angle Y\), \(\angle R \leftrightarrow \angle X\)).
Benzerlik oranı şu şekilde yazılabilir: \(\frac{|PQ|}{|YZ|} = \frac{|QR|}{|ZX|} = \frac{|PR|}{|YX|} = k\). (Burada \(|PQ|\) kenarı \(\triangle PQR\) 'de \(\angle R\) 'nin karşısındaki, \(|YZ|\) kenarı ise \(\triangle YXZ\) 'de \(\angle X\) 'in karşısındaki kenardır.)
Birbirine eş üçgenler için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) Karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.B) Karşılıklı açı ölçüleri toplamı \(180^\circ\) 'dir.
C) Benzerlik oranı \(0\) 'dır.
D) Alanları oranı \(2\) 'dir.
E) Çevreleri farklıdır.
Kenar uzunlukları \(\left| AB \right| = 6\) cm, \(\left| BC \right| = 8\) cm ve \(\left| AC \right| = 10\) cm olan bir \(\triangle ABC\) üçgeni ile kenar uzunlukları \(\left| DE \right| = 9\) cm, \(\left| EF \right| = 12\) cm ve \(\left| DF \right| = 15\) cm olan bir \(\triangle DEF\) üçgeni veriliyor. Bu iki üçgenin benzerlik oranı (\(k\)) kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(\frac{3}{2}\)
D) \(2\)
E) \(3\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde \(D \in \left| AB \right|\) ve \(E \in \left| AC \right|\) noktaları alınmıştır. Eğer \(\left| AD \right| = 3\) cm, \(\left| DB \right| = 5\) cm, \(\left| AE \right| = 4\) cm, \(\left| EC \right| = 8\) cm ve \(m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC})\) ise, \(\frac{\text{Alan}(\triangle ADE)}{\text{Alan}(\triangle ABC)}\) oranı kaçtır?
A) \(\frac{9}{64}\)B) \(\frac{3}{8}\)
C) \(\frac{1}{4}\)
D) \(\frac{16}{81}\)
E) \(\frac{4}{9}\)
Aşağıdakilerden hangisi iki üçgenin benzer olması için yeterli bir şart değildir?
A) Karşılıklı üç kenarının uzunlukları orantılı ise.B) Karşılıklı iki açısı eşit ise.
C) Karşılıklı iki kenarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise.
D) Karşılıklı üç açısı eşit ise.
E) Karşılıklı birer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlara ait yükseklikler eşit ise.
\(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\), \(\left| AB \right| = 5\) cm, \(\left| AC \right| = 8\) cm, \(\left| DE \right| = 10\) cm ve \(\left| DF \right| = 16\) cm veriliyor. Buna göre, bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) Üçgenler eşittir.B) Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı \(\frac{1}{2}\) 'dir.
C) Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı \(2\) 'dir.
D) Üçgenler ne eş ne de benzerdir.
E) Verilen bilgiler üçgenlerin eş veya benzer olduğunu kanıtlamak için yeterli değildir.
Bir \(ABC\) üçgeninde, \([DE] // [BC]\) olacak şekilde \(D\) noktası \([AB]\) üzerinde ve \(E\) noktası \([AC]\) üzerindedir. Eğer \(|AD| = 4\) birim, \(|DB| = 6\) birim ve \(|AE| = 5\) birim ise, \(|EC|\) kaç birimdir?
A) \(7,5\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(12,5\)
Yandaki şekilde, \(\angle BAC = \angle BDC\) ve \(|AB| = 6\) birim, \(|AC| = 8\) birim, \(|BD| = 9\) birim olarak verilmiştir. Buna göre \(|CD|\) kaç birimdir?
A) \(10\)B) \(12\)
C) \(15\)
D) \(16\)
E) \(18\)
Bir \(KLM\) üçgeni ile bir \(NPR\) üçgeni benzerdir. Eğer \(|KL| = 3\) birim, \(|LM| = 4\) birim, \(|KM| = 5\) birim ve \(|NP| = 6\) birim ise, \(NPR\) üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) \(12\)B) \(18\)
C) \(20\)
D) \(24\)
E) \(30\)
Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgen çiftlerinden hangisi kesinlikle eştir?
A) Birinci üçgenin kenarları \(3 \text{ cm}\), \(4 \text{ cm}\), \(5 \text{ cm}\); İkinci üçgenin kenarları \(6 \text{ cm}\), \(8 \text{ cm}\), \(10 \text{ cm}\).B) Birinci üçgenin kenarları \(5 \text{ cm}\), \(12 \text{ cm}\), \(13 \text{ cm}\); İkinci üçgenin kenarları \(5 \text{ cm}\), \(12 \text{ cm}\), \(13 \text{ cm}\).
C) Birinci üçgenin kenarları \(7 \text{ cm}\), \(7 \text{ cm}\), \(7 \text{ cm}\); İkinci üçgenin kenarları \(14 \text{ cm}\), \(14 \text{ cm}\), \(14 \text{ cm}\).
D) Birinci üçgenin kenarları \(2 \text{ cm}\), \(3 \text{ cm}\), \(4 \text{ cm}\); İkinci üçgenin kenarları \(4 \text{ cm}\), \(6 \text{ cm}\), \(8 \text{ cm}\).
E) Birinci üçgenin kenarları \(1 \text{ cm}\), \(2 \text{ cm}\), \(2 \text{ cm}\); İkinci üçgenin kenarları \(1 \text{ cm}\), \(2 \text{ cm}\), \(3 \text{ cm}\).
\(\triangle ABC\) 'de \(\angle A = 40^\circ\) ve \(\angle B = 60^\circ\) 'dir. \(\triangle DEF\) 'de \(\angle D = 40^\circ\) ve \(\angle F = 80^\circ\) 'dir. Buna göre, bu iki üçgenin benzerliği için aşağıdaki şartlardan hangisi doğrudur?
A) \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (KKK benzerliği)B) \(\triangle ABC \sim \triangle DFE\) (AKA eşliği)
C) \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (AA benzerliği)
D) \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (KAK eşliği)
E) Bu üçgenler benzer değildir.
\(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(AB = 6 \text{ cm}\), \(AC = 8 \text{ cm}\) ve \(\angle A = 50^\circ\) 'dir. \(\triangle DEF\) üçgeni ile \(\triangle ABC\) üçgeninin eş olması için aşağıdaki bilgilerden hangisi verilmelidir?
A) \(DE = 6 \text{ cm}\), \(DF = 8 \text{ cm}\) ve \(\angle E = 50^\circ\)B) \(DE = 8 \text{ cm}\), \(EF = 6 \text{ cm}\) ve \(\angle D = 50^\circ\)
C) \(DE = 6 \text{ cm}\), \(DF = 8 \text{ cm}\) ve \(\angle D = 50^\circ\)
D) \(DE = 6 \text{ cm}\), \(EF = 8 \text{ cm}\) ve \(\angle F = 50^\circ\)
E) \(DF = 6 \text{ cm}\), \(EF = 8 \text{ cm}\) ve \(\angle D = 50^\circ\)
Yandaki şekilde \(AB \parallel DE\) 'dir. \(C\) noktası \(AE\) ve \(BD\) doğrularının kesim noktasıdır. Eğer \(AC = 4 \text{ cm}\), \(CE = 6 \text{ cm}\) ve \(AB = 5 \text{ cm}\) ise, \(DE\) uzunluğu kaç \(\text{cm}\) 'dir?
A) \(7.5\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(12.5\)
İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki şartlardan hangisi yeterlidir?
A) Karşılıklı kenar uzunlukları eşit olmalıdır.B) Karşılıklı iki açısı eşit olmalıdır.
C) Karşılıklı birer kenarı ve bu kenarlara ait yükseklikleri eşit olmalıdır.
D) Karşılıklı birer kenarı ve bu kenarlara ait açıortayları eşit olmalıdır.
E) Karşılıklı kenarlarının oranları \(1\) 'e eşit olmalıdır.
Bir \(\triangle ABC\) 'nin kenar uzunlukları \(|AB|=6\) cm, \(|BC|=8\) cm ve \(|AC|=10\) cm'dir. Bu üçgene benzer bir \(\triangle DEF\) oluşturulmak isteniyor. Eğer \(\triangle DEF\) 'nin benzerlik oranı \(\triangle ABC\) 'ye göre \(k = \frac{1}{2}\) ise, \(\triangle DEF\) 'nin kenar uzunlukları toplamı kaç cm'dir?
A) \(12\)B) \(16\)
C) \(20\)
D) \(24\)
E) \(28\)
\(\triangle KLM\) 'de \(\angle K = 70^\circ\) ve \(\angle L = 50^\circ\) 'dir. \(\triangle XYZ\) 'de \(\angle X = 70^\circ\) ve \(\angle Z = 60^\circ\) 'dir. Buna göre, bu iki üçgen arasındaki benzerlik durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) \(\triangle KLM \sim \triangle XYZ\) (Açı-Açı Benzerliği ile)B) \(\triangle KLM \sim \triangle YXZ\) (Açı-Açı Benzerliği ile)
C) \(\triangle KLM\) ve \(\triangle XYZ\) benzer değildir.
D) \(\triangle KLM \sim \triangle XZY\) (Kenar-Açı-Kenar Benzerliği ile)
E) \(\triangle KLM \sim \triangle ZYX\) (Kenar-Kenar-Kenar Benzerliği ile)
Şekildeki \(\triangle ABC\) 'de \(DE \parallel BC\) 'dir. \(D\) noktası \(|AB|\) üzerinde, \(E\) noktası \(|AC|\) üzerindedir. \(|AD|=4\) cm, \(|DB|=8\) cm ve \(|AE|=3\) cm olduğuna göre, \(|EC|\) kaç cm'dir?
A) \(4\)B) \(5\)
C) \(6\)
D) \(7\)
E) \(8\)
Bir \(\triangle PQR\) 'nin kenar uzunlukları \(|PQ|=9\) birim, \(|QR|=12\) birim ve \(|PR|=15\) birimdir. Aşağıdaki kenar uzunluklarına sahip üçgenlerden hangisi \(\triangle PQR\) 'ye benzerdir?
A) \(3, 4, 6\)B) \(12, 16, 20\)
C) \(10, 13, 16\)
D) \(18, 20, 24\)
E) \(6, 9, 12\)
\(\triangle ABC\) 'de \(|AB|=5\) cm, \(|BC|=7\) cm ve \(\angle B = 60^\circ\) 'dir. \(\triangle DEF\) 'de \(|DE|=10\) cm, \(|EF|=14\) cm ve \(\angle E = 60^\circ\) 'dir. Bu iki üçgenin benzerliği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Benzer değillerdir çünkü kenarlar orantılı değildir.B) \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (Kenar-Açı-Kenar Benzerliği ile) ve benzerlik oranı \(k=2\) 'dir.
C) \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (Kenar-Açı-Kenar Benzerliği ile) ve benzerlik oranı \(k=\frac{1}{2}\) 'dir.
D) Benzer değillerdir çünkü açılar eşit değildir.
E) \(\triangle ABC \sim \triangle FDE\) (Kenar-Açı-Kenar Benzerliği ile) ve benzerlik oranı \(k=\frac{1}{2}\) 'dir.
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/915-9-sinif-eslik-ve-benzerlik-sartlari-ve-bir-ucgene-benzer-ucgenler-olusturma-test-coz-g0b2