10. Sınıf Matematik - Karekök, Karesel ve Rasyonel Fonksiyonlar Çalışma Notları
Karekök Fonksiyonu (\(f(x) = \sqrt{x}\))
Karekök fonksiyonu, reel sayılarda tanımlı olan ve girdi olarak aldığı sayının karekökünü çıktı olarak veren bir fonksiyondur. Tanım kümesi \(x \ge 0\) olan reel sayılardır.
- Tanım Kümesi: \([0, ∞)\)
- Görüntü Kümesi: \([0, ∞)\)
- Özellikleri:
- Her zaman pozitif veya sıfır değerler alır.
- Tek fonksiyondur (orijine göre simetriktir).
- Grafiği, birinci bölgede başlayıp sağa doğru artarak ilerleyen bir eğridir.
💡 Önemli Not: Negatif bir sayının reel sayılarda karekökü tanımsızdır.
Karesel Fonksiyon (\(f(x) = x^2\))
Karesel fonksiyon, girdi olarak aldığı sayının karesini çıktı olarak veren bir fonksiyondur. Tüm reel sayılarda tanımlıdır.
- Tanım Kümesi: \((-∞, ∞)\)
- Görüntü Kümesi: \([0, ∞)\)
- Özellikleri:
- Her zaman pozitif veya sıfır değerler alır (çift fonksiyon özelliği).
- Grafiği, orijinden geçen ve yukarı doğru açılan bir paraboldür.
- y eksenine göre simetriktir (çift fonksiyondur).
📌 Hatırlatma: \((-x)^2 = x^2\) olduğu için bu fonksiyon çift fonksiyondur.
Rasyonel Fonksiyon (\(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\))
Rasyonel fonksiyon, iki polinom fonksiyonunun birbirine oranı şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. \(Q(x)\) polinomunun kökleri, rasyonel fonksiyonun tanım kümesinde yer almaz.
- Tanım Kümesi: \(Q(x) \ e 0\) koşulunu sağlayan tüm \(x\) reel sayılarıdır.
- Özellikleri:
- Paydadaki ifadenin sıfır olduğu noktalarda tanımsızlıklar (asimpotlar veya delikler) oluşabilir.
- Grafikleri, kesikli çizgilerle belirtilen yatay ve dikey asimptotlara sahip olabilir.
🚀 Dikkat Edilmesi Gerekenler: Rasyonel fonksiyonlarda sadeleştirme yaparken, sadeleşen terimin köklerinin fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılması gerektiğini unutmayın.
Tablo Özeti
| Fonksiyon Türü | Genel Gösterim | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|---|
| Karekök Fonksiyonu | \(f(x) = \sqrt{x}\) | \([0, ∞)\) | \([0, ∞)\) |
| Karesel Fonksiyon | \(f(x) = x^2\) | \((-∞, ∞)\) | \([0, ∞)\) |
| Rasyonel Fonksiyon | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) | \(\{x \in \mathbb{R} | Q(x) \ e 0\}\) | Tanıma göre değişir |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Karekök Fonksiyonu
Soru: \(f(x) = \sqrt{x-3}\) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm: Karekök fonksiyonunun içi negatif olamaz. Bu nedenle, \(x-3 \ge 0\) olmalıdır. Buradan \(x \ge 3\) elde ederiz. Tanım kümesi \([3, ∞)\) olur.
Örnek 2: Rasyonel Fonksiyon
Soru: \(g(x) = \frac{x+1}{x-2}\) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm: Rasyonel fonksiyonlarda payda sıfır olamaz. Bu nedenle, \(x-2 \ e 0\) olmalıdır. Buradan \(x \ e 2\) elde ederiz. Tanım kümesi \(\{x \in \mathbb{R} | x \ e 2\}\) yani \((-∞, 2) \cup (2, ∞)\) olur.
\(f(x) = \sqrt{2x-8}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([4, ∞)\)B) \((-∞, 4]\)
C) \((4, ∞)\)
D) \([0, ∞)\)
E) \((-∞, 0]\)
\(f(x) = 7 - \sqrt{x+3}\) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([7, ∞)\)B) \((-∞, 7]\)
C) \([3, ∞)\)
D) \((-∞, 3]\)
E) \([0, ∞)\)
\(f(x) = \sqrt{x-2} + 5\) fonksiyonunun grafiği hangi noktadan başlar ve hangi yöne doğru ilerler?
A) \((2, 5)\) noktasından başlar ve sağ yukarı doğru ilerler.B) \((2, 5)\) noktasından başlar ve sol yukarı doğru ilerler.
C) \((-2, 5)\) noktasından başlar ve sağ yukarı doğru ilerler.
D) \((5, 2)\) noktasından başlar ve sağ yukarı doğru ilerler.
E) \((2, -5)\) noktasından başlar ve sağ aşağı doğru ilerler.
\(f(x) = \sqrt{4x+a}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \([3, ∞)\) olduğuna göre, \(f(7)\) değeri kaçtır?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
Bir karesel fonksiyon \(f(x) = (m-2)x^2 + 3x - 1\) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun bir parabol belirttiğine göre, \(m\) değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) \(0\)B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)
E) \(4\)
\(f(x) = x^2 - 6x + 11\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-3, 2)\)B) \((3, -2)\)
C) \((3, 2)\)
D) \((-3, -2)\)
E) \((2, 3)\)
\(f(x) = x^2 + 4x + k\) karesel fonksiyonunun \(x\) -eksenini sadece bir noktada kesmesi için \(k\) değeri kaç olmalıdır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
\(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\) karesel fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi \(x=2\) için tanımsızdır?
A) \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\)B) \(f(x) = \frac{x-2}{x+2}\)
C) \(f(x) = \frac{x^2+1}{x-2}\)
D) \(f(x) = \frac{3x}{x^2+4}\)
E) \(f(x) = \frac{1}{x^2-1}\)
Tanımlı olduğu aralıkta \(f(x) = \frac{3x+1}{x-1}\) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \(f(2)\) değeri kaçtır?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
Tanımlı olduğu aralıkta \(f(x) = \frac{x^2-4x+4}{x-2}\) fonksiyonunun en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(x+2\)B) \(x-2\)
C) \(x\)
D) \(2x\)
E) \(1\)
\(f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-3}\) fonksiyonunun sıfırları toplamı kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/924-10-sinif-karekok-fonksiyonu-karesel-fonksiyon-ve-rasyonel-fonksiyon-test-coz-uzqg