9. Sınıf Matematik - Kümeler ve Fonksiyonlar Tekrar Notları
Kümeler Temelleri
Kümeler, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Kümeler genellikle \(A, B, C\) gibi büyük harflerle gösterilir.
- Eleman: Bir kümenin içinde bulunan her bir nesneye eleman denir. Elemanlar genellikle \(a, b, c\) gibi küçük harflerle gösterilir.
- Gösterim: Kümeler, elemanları süslü parantez \(\{...\}\) içine yazılarak veya ortak özellikleri belirtilerek gösterilir.
- Boş Küme: Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve \(\emptyset\) veya \(\{ \}\) ile gösterilir.
- Evrensel Küme: Üzerinde çalışılan kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir ve \(E\) ile gösterilir.
Doğrusal Fonksiyonlar (\(f(x) = ax + b\))
Doğrusal fonksiyonlar, grafiği bir doğru olan fonksiyonlardır. Genel formu \(f(x) = ax + b\) şeklindedir, burada \(a\) eğim ve \(b\) y-kesen noktasıdır.
- Referans Fonksiyon: \(f(x) = x\) fonksiyonu temel doğrusal fonksiyondur. Grafiği, orijinden geçen ve eğimi \(1\) olan bir doğrudur.
- Nitel Özellikler:
- \(a > 0\) ise fonksiyon artandır.
- \(a < 0\) ise fonksiyon azalandır.
- \(a = 0\) ise fonksiyon sabittir (\(f(x) = b\)).
- \(b\) değeri, doğrunun y-eksenini kestiği noktayı verir.
Mutlak Değer Fonksiyonları (\(|x|\))
Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki orijine olan uzaklığını ifade eder. Her zaman pozitif veya sıfırdır.
- Tanım:
- \(x \ge 0\) ise \(|x| = x\)
- \(x < 0\) ise \(|x| = -x\)
- Analojik Akıl Yürütme: Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri, parçalı fonksiyonlar olarak incelenebilir ve doğrusal fonksiyonlarla analojiler kurulabilir. Örneğin, \(f(x) = |x|\) fonksiyonunun grafiği V şeklindedir.
- Özellikler:
- \(|a| = |-a|\)
- \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\)
- \(|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}\) (\(b e 0\))
- \(|a+b| \le |a| + |b|\) (Üçgen Eşitsizliği)
Denklem ve Eşitsizlik Çözümleri
Doğrusal fonksiyonlar ve mutlak değer fonksiyonları kullanılarak çeşitli denklem ve eşitsizlik problemleri çözülebilir.
- Doğrusal Denklemler: \(ax + b = c\) gibi denklemler, \(a e 0\) olmak üzere tek bir çözüm kümesine sahiptir.
- Doğrusal Eşitsizlikler: \(ax + b > c\), \(ax + b < c\), \(ax + b \ge c\), \(ax + b \le c\) gibi eşitsizlikler bir çözüm aralığına sahiptir. Eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıyla çarpılırsa veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
- Mutlak Değer Denklemleri ve Eşitsizlikleri:
- \(|x| = k\) (\(k \ge 0\)): \(x = k\) veya \(x = -k\)
- \(|x| < k\) (\(k > 0\)): \(-k < x < k\)
- \(|x| > k\) (\(k > 0\)): \(x < -k\) veya \(x > k\)
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1: \(f(x) = 3x - 2\) doğrusal fonksiyonu için \(f(4)\) değerini bulunuz.
Çözüm: Fonksiyonda \(x\) yerine \(4\) yazılır: \(f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10\). Dolayısıyla, \(f(4) = 10\)'dur. ✅
Soru 2: \(|2x - 1| = 5\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: Mutlak değer tanımına göre iki durum vardır:Çözüm kümesi \(\{-2, 3\}\)'tür. 🚀
- \(2x - 1 = 5\)\(=\) > \(2x = 6\)\(=\) > \(x = 3\)
- \(2x - 1 = -5\)\(=\) > \(2x = -4\)\(=\) > \(x = -2\)
Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal referans fonksiyonu \(f(x) = x\) olarak verilmiştir. Yeni bir doğrusal fonksiyon \(g(x) = ax+b\) olarak tanımlanmıştır. \(g(x)\) fonksiyonunun grafiği \((2, 5)\) noktasından geçmekte ve eğimi \(3\) olduğuna göre, \(f(x)\) ve \(g(x)\) fonksiyonları arasındaki ilişki ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) \(g(x)\) 'in grafiği \(f(x)\) 'in grafiğine paraleldir.B) \(g(x)\) 'in grafiği \(y\) -eksenini, \(f(x)\) 'in grafiğinin \(y\) -eksenini kestiği noktanın üstünde keser.
C) \(g(x)\) 'in grafiği orijinden geçer.
D) \(g(x)\) 'in grafiği \(f(x)\) 'in grafiğinden daha diktir.
E) \(g(x)\) 'in grafiği \(f(x)\) 'in grafiğine diktir.
Gerçek sayılarda tanımlı doğrusal referans fonksiyonu \(f(x)=x\) olarak verilmiştir. Yeni bir doğrusal fonksiyon \(h(x)=(k-1)x + 2k-4\) şeklinde tanımlanmıştır. Eğer \(h(x)\) fonksiyonunun grafiği \((1, -3)\) noktasından geçiyorsa, \(f(x)\) ve \(h(x)\) fonksiyonları arasındaki ilişki ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) \(h(x)\) 'in grafiği \(f(x)\) 'in grafiğine paraleldir.B) \(h(x)\) 'in grafiği \(f(x)\) 'in grafiğinden daha yatıktır (eğimin mutlak değeri daha küçüktür).
C) \(h(x)\) 'in grafiği \(y\) -eksenini, \(f(x)\) 'in grafiğinin \(y\) -eksenini kestiği noktanın üstünde keser.
D) \(h(x)\) 'in grafiği \(x\) -eksenini pozitif tarafta keser.
E) \(h(x)\) 'in grafiği orijinden geçer.
\(f(x) = x-3\) doğrusal fonksiyonu veriliyor. \(|f(x)| \le 2\) eşitsizliğini sağlayan \(x\) tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) \(10\)B) \(12\)
C) \(15\)
D) \(18\)
E) \(21\)
\(|2x-6| = x+3\) denklemini sağlayan \(x\) değerlerinin toplamı kaçtır?
A) \(6\)B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)
Bir GSM operatörü, müşterilerine iki farklı tarife sunmaktadır: Tarife A: Aylık sabit ücret \(20\) TL ve konuşulan her dakika için \(0.50\) TL. Tarife B: Aylık sabit ücret \(10\) TL ve konuşulan her dakika için \(0.75\) TL. Bu operatörün bir müşterisi bir ayda \(x\) dakika konuştuğunda, Tarife A'nın Tarife B'den daha ekonomik olması için \(x\) dakika sayısı hangi aralıkta olmalıdır?
A) \(x < 40\)B) \(x = 40\)
C) \(x > 40\)
D) \(x \le 40\)
E) \(x \ge 40\)
\(A\) ve \(B\) iki kümedir. \(s(A \setminus B) = 12\) \(s(B \setminus A) = 8\) \(s(A \cup B) = 25\) Yukarıda verilen bilgilere göre, \(s(A \cap B)\) değeri kaçtır?
A) \(3\)B) \(5\)
C) \(7\)
D) \(10\)
E) \(15\)
\(f(x) = x\) doğrusal referans fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Grafiği orijinden, yani \((0,0)\) noktasından geçer.B) Eğim açısı \(45^\circ\) 'dir.
C) Tanım kümesi gerçek sayılar kümesidir, yani \(\mathbb{R}\) 'dir.
D) Artan bir fonksiyondur.
E) \(y\) -eksenini \(y=1\) noktasında keser.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \(g(x) = (m-1)x + n+2\) doğrusal fonksiyonu, \(f(x) = x\) referans fonksiyonuna paralel olduğuna ve \(y\) -eksenini \(y=5\) noktasında kestiğine göre, \(m+n\) toplamı kaçtır?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(6\)
E) \(7\)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(h(x) = ax+b\) doğrusal fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- \(h(x)\) fonksiyonunun grafiği \(x\) -eksenini \(x=3\) noktasında kesmektedir.
- \(h(x)\) fonksiyonu, \(f(x) = x\) referans fonksiyonundan daha dik bir eğime sahiptir ve azalan bir fonksiyondur.
B) \(a < 0\) ve \(b > 0\)
C) \(a < 0\) ve \(b < 0\)
D) \(a > 0\) ve \(b > 0\)
E) \(a = 0\) ve \(b = 3\)
\(f(x) = |x-4|+2\) fonksiyonunun grafiğinin köşe noktasının koordinatları nedir?
A) \((4,2)\)B) \((-4,2)\)
C) \((4,-2)\)
D) \((-4,-2)\)
E) \((0,2)\)
\(g(x) = |3x+6|-5\) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) \(-6\)B) \(-5\)
C) \(0\)
D) \(5\)
E) \(6\)
\(|2x-8|=10\) denklemini sağlayan \(x\) değerlerinin toplamı kaçtır?
A) \(4\)B) \(8\)
C) \(10\)
D) \(12\)
E) \(14\)
Bir taksi, açılış ücreti olarak \(12\) TL almakta ve gidilen her kilometre başına \(5\) TL ek ücret talep etmektedir. Eğer bir müşteri taksi yolculuğu sonunda toplam \(57\) TL ödediyse, bu müşteri taksiyle kaç kilometre yol gitmiştir?
A) \(7\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(11\)
Bir çiftlikte tavuklar ve koyunlar bulunmaktadır. Çiftlikteki toplam hayvan sayısı \(40\) ve bu hayvanların toplam ayak sayısı \(100\) 'dür. Buna göre çiftlikte kaç tane koyun vardır?
A) \(10\)B) \(15\)
C) \(20\)
D) \(25\)
E) \(30\)
Bir telefon operatörü, müşterilerine aylık sabit \(30\) TL ücret karşılığında \(100\) dakika ücretsiz konuşma hakkı sunmaktadır. Bu \(100\) dakikayı aştıktan sonra, her dakika için \(0.5\) TL ek ücret almaktadır. Eğer bir müşteri ay sonunda faturasının \(45\) TL'yi geçmemesini istiyorsa, bu müşteri en fazla kaç dakika konuşabilir? (Ücretsiz dakikalar dahil)
A) \(120\)B) \(130\)
C) \(140\)
D) \(150\)
E) \(160\)
\(A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -2 < x \le 3\}\) ve \(B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \le 4\}\) kümeleri veriliyor. Buna göre \((A \cup B) \setminus (A \cap B)\) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\{-1, 4\}\)B) \(\{-2, -1, 4, 5\}\)
C) \(\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}\)
D) \(\{0, 1, 2, 3\}\)
E) \(\{-1\}\)
\(30\) kişilik bir sınıfta, \(18\) öğrenci futbol oynamakta, \(12\) öğrenci basketbol oynamaktadır. Her iki sporu da yapan öğrenci sayısı \(5\) olduğuna göre, bu sınıfta hiçbir sporu yapmayan kaç öğrenci vardır?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(5\)
D) \(6\)
E) \(7\)
Bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı \(63\) olduğuna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
A) \(4\)B) \(5\)
C) \(6\)
D) \(7\)
E) \(8\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/945-9-sinif-dogrusal-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-mutlak-deger-fonksiyonlari-dogrusal-fonksiyonlarla-denklem-ve-esitsizlikler-ve-kumeler-test-coz-5170