9. Sınıf Matematik - Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik, Temel Orantı Teoremi Çıktı Notları
📌 Üçgenlerde Eşlik
İki üçgenin tüm kenar uzunlukları ve tüm iç açıları karşılıklı olarak eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Eşlik durumu, \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) şeklinde gösterilir.
💡 Eşlik Kuralları:
- SSS (Kenar-Kenar-Kenar): İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu da eşitse, bu üçgenler eştir.
- SUS (Kenar-Açı-Kenar): İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu ve bu kenetler arasındaki açıları eşitse, bu üçgenler eştir.
- USU (Açı-Kenar-Açı): İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir.
- SSA (Açı-Açı-Kenar): İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve birer kenar uzunluğu eşitse, bu üçgenler eştir.
📌 Üçgenlerde Benzerlik
İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Benzerlik durumu, \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) şeklinde gösterilir. Orantı sabiti \(k\) ile gösterilir.
💡 Benzerlik Kuralları:
- AA (Açı-Açı): İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- SSS (Kenar-Kenar-Kenar): İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.
- SAS (Kenar-Açı-Kenar): İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşitse, bu üçgenler benzerdir.
📌 Temel Orantı Teoremi (Tales Teoremi)
Bir üçgenin bir kenarına paralel ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, bu iki kenarı orantılı olarak böler. Şekilde, \(\triangle ABC\) içinde \(DE \parallel BC\) ise;
\(\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}\) ve \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}\)
Bu teorem, özellikle paralel kenarların olduğu durumlarda uzunlukları hesaplamak için çok önemlidir. 🚀
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: Eşlik Sorusu
Soru: \(|AB| = |DE|\), \(|BC| = |EF|\) ve \(\\) m(\\(B) = m(\\) E) \( ise \) \\( \triangle ABC\) ile \(\\) \(\triangle\) DEF \( üçgenleri arasındaki ilişki nedir?
Çözüm: Verilenlere göre iki kenar ve aralarındaki açı eşittir. Bu durum SUS (Kenar-Açı-Kenar) eşlik kuralını sağlar. Bu nedenle \) \\( \triangle ABC \cong \triangle DEF\) olur.
Örnek 2: Benzerlik ve Temel Orantı Teoremi Sorusu
Soru: Bir \(\\) \(\triangle\) ABC \( üçgeninde \) DE \(\parallel\) BC \(, \) |AD| \(=\) \( \) 6 \( cm, \) |DB| \(=\) \( \) 3 \( cm ve \) |AE| \(=\) \( \) 8 \( cm ise \) |EC| \( kaç cm'dir?
Çözüm: Temel Orantı Teoremi'ne göre \) \\( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}\) ilişkisi vardır. Verilen değerleri yerine koyarsak:
\(\frac{6}{3} = \frac{8}{|EC|}\)
\(2 = \frac{8}{|EC|}\)
\(|EC| = \frac{8}{2} = 4\) cm olur.
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(D\) noktası \(AB\) kenarı üzerinde ve \(E\) noktası \(AC\) kenarı üzerindedir. \(DE \parallel BC\) olduğuna göre, \(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 3\) cm ise, \(|EC|\) uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(3.5\)B) \(4\)
C) \(4.5\)
D) \(5\)
E) \(5.5\)
Şekilde verilen \(AC\) ve \(BD\) doğruları \(E\) noktasında kesişmektedir. \(\angle BAE = \angle CDE\) olduğu bilinmektedir. Eğer \(|AE| = 4\) cm, \(|EB| = 6\) cm ve \(|DE| = 8\) cm ise, \(|EC|\) uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(9\)B) \(10\)
C) \(11\)
D) \(12\)
E) \(13\)
Bir \(ABCD\) yamuğunda \(AB \parallel DC\) ve köşegenleri \(E\) noktasında kesişmektedir. Eğer \(|AB| = 9\) cm, \(|DC| = 6\) cm ve \(|AE| = 6\) cm ise, \(|EC|\) uzunluğu kaç cm'dir?
A) \(3\)B) \(4\)
C) \(4.5\)
D) \(5\)
E) \(5.5\)
Şekilde \(AE\) ve \(BD\) doğru parçaları \(C\) noktasında kesişmektedir. \(|AC| = |CE|\) ve \(|BC| = |CD|\) 'dir. \(\angle ACB = 50^\circ\) ve \(|AB| = 7\) cm olduğuna göre, \(|DE|\) kaç cm'dir?
A) \(5\)B) \(6\)
C) \(7\)
D) \(8\)
E) \(9\)
Şekildeki \(ABC\) üçgeninde, \(D\) noktası \(BC\) kenarı üzerindedir. \(AD\) doğru parçası kenarortaydır, yani \(|BD| = |DC|\) 'dir. Ayrıca, \(|AB| = |AC|\) olduğu verilmiştir. \(\angle BAD = 35^\circ\) olduğuna göre, \(\angle BAC\) kaç derecedir?
A) \(60\)B) \(65\)
C) \(70\)
D) \(75\)
E) \(80\)
Şekildeki \(ABC\) üçgeninde, \(BD \perp AC\) ve \(CE \perp AB\) 'dir. \(|BD| = |CE|\) ve \(|AD| = |AE|\) olduğu verilmiştir. \(\angle BAC = 50^\circ\) olduğuna göre, \(\angle ABC\) kaç derecedir?
A) \(55\)B) \(60\)
C) \(65\)
D) \(70\)
E) \(75\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(DE \parallel BC\) olacak şekilde \(D\) noktası \(AB\) kenarı üzerinde ve \(E\) noktası \(AC\) kenarı üzerindedir. Eğer \(|AD| = 3\) birim, \(|DB| = 6\) birim ve \(|AE| = 2\) birim ise, \(|EC|\) uzunluğu kaç birimdir?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
\(d_1\), \(d_2\) ve \(d_3\) doğruları birbirine paraleldir (\(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3\)). Bu üç paralel doğruyu kesen \(k\) ve \(l\) doğruları şekilde gösterildiği gibidir. \(k\) doğrusu üzerinde \(A\), \(B\), \(C\) noktaları sırasıyla \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) üzerinde; \(l\) doğrusu üzerinde ise \(D\), \(E\), \(F\) noktaları sırasıyla \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) üzerindedir. Verilen uzunluklar \(|AB| = (2x-1)\) birim, \(|BC| = (x+3)\) birim, \(|DE| = 4\) birim ve \(|EF| = 6\) birim ise, \(x\) değeri kaçtır?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(\frac{5}{2}\)
D) \(\frac{7}{2}\)
E) \(\frac{9}{4}\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(DE \parallel BC\) olacak şekilde \(D\) noktası \(AB\) kenarı üzerinde ve \(E\) noktası \(AC\) kenarı üzerindedir. Verilen uzunluklar \(|AD| = 4\) birim, \(|DB| = x\) birim, \(|AE| = 6\) birim ve \(|EC| = (x+1)\) birimdir. Buna göre, \(|AB|\) uzunluğu kaç birimdir?
A) \(4\)B) \(5\)
C) \(6\)
D) \(7\)
E) \(8\)
\(\triangle ABC\) üçgeninde \(D \in AB\) ve \(E \in AC\) noktaları alınmıştır. \(DE \parallel BC\), \(AD = 4\) birim, \(DB = 2\) birim ve \(AE = 6\) birimdir. Buna göre \(EC\) kaç birimdir?
A) \(2\)B) \(3\)
C) \(4\)
D) \(5\)
E) \(6\)
\(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenlerinde \(AB=DE\), \(AC=DF\) ve \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})\) olarak verilmiştir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) (Benzerdir)B) \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (Eştir)
C) \(BC=EF\) değildir.
D) \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{F})\)
E) \(\text{Alan}(\triangle ABC)
eq \text{Alan}(\triangle DEF)\)
\(\triangle ABC\) üçgeninde \(D \in BC\) ve \(E \in AC\) noktaları alınmıştır. \(m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{B})\) ve \(AD=6\) birim, \(BD=4\) birim, \(AE=5\) birim olduğuna göre \(AC\) kaç birimdir?
A) \(7,5\)B) \(8\)
C) \(9\)
D) \(10\)
E) \(12\)
\(\triangle ABC\) üçgeninde \(AB = 8\) birim, \(BC = 10\) birimdir. \(\triangle DEF\) üçgeninde \(DE = 12\) birim, \(EF = 15\) birimdir. Eğer \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})\) ise, \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri arasındaki benzerlik oranı nedir?
A) \(\frac{1}{2}\)B) \(\frac{2}{3}\)
C) \(\frac{3}{4}\)
D) \(\frac{4}{5}\)
E) \(\frac{5}{6}\)
Benzer iki üçgenin çevre uzunlukları oranı \(\frac{3}{5}\) 'tir. Küçük üçgenin alanı \(18 \text{ cm}^2\) olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç \(\text{cm}^2\) 'dir?
A) \(30\)B) \(40\)
C) \(50\)
D) \(60\)
E) \(75\)
Şekildeki \(\triangle ABC\) 'de, \(DE \parallel BC\) olmak üzere \(D \in AB\) ve \(E \in AC\) noktaları verilmiştir. \(|AD| = 4\) birim, \(|DB| = 6\) birim ve \(|AE| = 3\) birim olduğuna göre, \(|EC|\) kaç birimdir?
A) \(3.5\)B) \(4\)
C) \(4.5\)
D) \(5\)
E) \(5.5\)
\(\triangle ABC\) üçgeninde \(DE \parallel BC\) dir. \(D\) noktası \(AB\) kenarı üzerinde, \(E\) noktası \(AC\) kenarı üzerindedir. \(|AD| = x\) birim, \(|DB| = (x+1)\) birim, \(|AE| = 6\) birim ve \(|EC| = 9\) birim olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
A) \(1\)B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Şekilde \(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3\) olmak üzere üç paralel doğru, \(t_1\) ve \(t_2\) kesenleri ile kesilmiştir. \(t_1\) keseni doğruları sırasıyla \(A\), \(B\), \(C\) noktalarında; \(t_2\) keseni ise \(D\), \(E\), \(F\) noktalarında kesmektedir. \(|AB| = 5\) birim, \(|BC| = 7\) birim ve \(|DE| = x\) birim, \(|EF| = 14\) birim olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
A) \(8\)B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)
E) \(12\)
Bir \(\triangle ABC\) üçgeninde, \(DE \parallel BC\) olacak şekilde \(D\) noktası \(AB\) kenarı üzerinde ve \(E\) noktası \(AC\) kenarı üzerindedir. \(|AD| = 4\) birim, \(|DB| = 2\) birim ve \(|BC| = 9\) birim olduğuna göre, \(|DE|\) kaç birimdir?
A) \(5\)B) \(5.5\)
C) \(6\)
D) \(6.5\)
E) \(7\)
\(\triangle ABC\) üçgeninde, \(DE \parallel BC\) olmak üzere \(D \in AB\) ve \(E \in AC\) noktaları işaretlenmiştir. \(|AD| = 2 \times |DB|\) ve \(|AE| = 5\) birim olduğuna göre, \(|AC|\) kaç birimdir?
A) \(6.5\)B) \(7\)
C) \(7.5\)
D) \(8\)
E) \(8.5\)
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun
https://yazili.eokultv.com/test/984-9-sinif-ucgende-eslik-benzerlik-ve-temel-oranti-teoremi-test-coz-fuxk