7. Sınıf: Ters Orantı Kazanım Değerlendirme Testleri

📈 Matematik dünyasında nicelikler arasındaki ilişkiler oldukça çeşitlidir. Bu ilişkilerden biri de ters orantıdır. Bir değer artarken diğerinin azaldığı veya tam tersi durumların yaşandığı ters orantıyı, günlük hayattan örneklere ve formüllere kadar adım adım keşfedin! 🚀

Ters Orantı Nedir?

📌 İki çokluktan biri artarken, diğeri aynı oranda azalıyorsa; ya da biri azalırken, diğeri aynı oranda artıyorsa bu çokluklara ters orantılı çokluklar denir. Ters orantıda çoklukların çarpımı sabittir.

Ters Orantının Temel Özellikleri

• İki çokluk arasındaki ilişki her zaman çarpım sabitliği gösterir. Yani $x \cdot y = k$ (sabit bir değer) şeklindedir.
• Grafiği bir hiperbol eğrisi şeklindedir ve koordinat eksenlerine yaklaşır ancak kesmez.
• Günlük hayatta iş-zaman, hız-zaman, işçi sayısı-iş bitirme süresi gibi kavramlarda sıkça karşımıza çıkar.

Ters Orantı ve Doğru Orantı Arasındaki Farklar

Ters orantıyı daha iyi anlamak için onu doğru orantıyla karşılaştırmak faydalı olacaktır:

Ters Orantı Problemleri Nasıl Çözülür?

Ters orantı içeren problemleri çözerken aşağıdaki adımları takip edebiliriz:

1. Öncelikle verilen çoklukların ters orantılı olup olmadığını belirleyin. (Bir artarken diğeri azalıyor mu?)
2. Çoklukların çarpımının sabit bir değere eşit olduğunu $(x \cdot y = k)$ unutmayın.
3. Verilen değerleri kullanarak sabit $k$ değerini veya istenen bilinmeyeni bulun.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1: İşçi ve İş Süresi

💡 6 işçinin bir duvarı 10 günde ördüğünü varsayalım. Aynı duvarı 4 işçi kaç günde örer? (Tüm işçilerin çalışma hızları aynıdır.)

Çözüm:

1. İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalacağı için bu bir ters orantı problemidir.
2. Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir: $İşçi \ Sayısı \times Gün \ Sayısı = k$.
3. İlk durumda verilen değerleri kullanarak sabit $k$ değerini bulalım: $6 \text{ işçi} \times 10 \text{ gün} = 60$. Yani $k = 60$.
4. Şimdi 4 işçi ile işin kaç günde biteceğini bulalım. Bilinmeyen gün sayısına $x$ diyelim: $4 \text{ işçi} \times x \text{ gün} = 60$.
5. Denklemi çözerek $x$ değerini bulalım: $4x = 60 \Rightarrow x = \frac{60}{4} \Rightarrow x = 15$.

✅ Cevap: Aynı duvarı 4 işçi 15 günde örer.

Soru 2: Hız ve Zaman

💡 Bir araç belirli bir mesafeyi saatte 80 km hızla giderek 3 saatte tamamlıyor. Aynı mesafeyi saatte 60 km hızla gitseydi kaç saatte tamamlardı?

Çözüm:

1. Hız arttıkça varış süresi azalacağı için bu bir ters orantı problemidir.
2. Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir: $Hız \times Zaman = Mesafe (k)$.
3. İlk durumda verilen değerleri kullanarak sabit $k$ değerini (mesafe) bulalım: $80 \text{ km/sa} \times 3 \text{ sa} = 240 \text{ km}$. Yani $k = 240$.
4. Şimdi 60 km/sa hızla gidildiğinde kaç saatte tamamlanacağını bulalım. Bilinmeyen zamana $t$ diyelim: $60 \text{ km/sa} \times t \text{ sa} = 240 \text{ km}$.
5. Denklemi çözerek $t$ değerini bulalım: $60t = 240 \Rightarrow t = \frac{240}{60} \Rightarrow t = 4$.

✅ Cevap: Aynı mesafeyi saatte 60 km hızla 4 saatte tamamlardı.