Aşağıdaki trigonometrik değerleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
\( a = \sin 100^{\circ} \)
\( b = \cos 20^{\circ} \)
\( c = \tan 40^{\circ} \)
A) \( a < b < c \)
B) \( b < a < c \)
C) \( c < b < a \)
D) \( c < a < b \)
E) \( a < c < b \)
Açıklama:Verilen değerleri dar açı cinsinden ve aynı fonksiyon türünden yazalım:
- \( a = \sin 100^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 100^{\circ}) = \sin 80^{\circ} \)
- \( b = \cos 20^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 20^{\circ}) = \sin 70^{\circ} \)
- \( c = \tan 40^{\circ} \)
Şimdi bu değerleri karşılaştıralım:
- \( \sin 70^{\circ} \approx 0.939 \)
- \( \sin 80^{\circ} \approx 0.985 \)
- \( \tan 40^{\circ} \approx 0.839 \)
Ayrıca, \( 0^{\circ} < \theta < 90^{\circ} \) için \( \sin \theta < \tan \theta \) değildir, \( \sin \theta < \tan \theta \) sadece \( \theta \) 0'dan büyükse ve \( \tan \theta \) tanımlıysa geçerlidir. Ancak burada \( \sin 70^{\circ} \) ve \( \tan 40^{\circ} \) karşılaştırıyoruz.
Birim çember üzerinde veya bilinen değerlerle karşılaştırırsak:
- \( \tan 40^{\circ} \) değeri \( \tan 45^{\circ} = 1 \) olduğundan 1'den küçüktür.
- \( \sin 70^{\circ} \) ve \( \sin 80^{\circ} \) değerleri de 1'den küçüktür.
Grafiksel olarak ya da değerler üzerinden: \( \tan 40^{\circ} < \sin 70^{\circ} < \sin 80^{\circ} \)
Yani, \( c < b < a \).