9. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı 4. Senaryo Test 4

Açıklama:
a) Problemin verilen ve istenenleri: Verilenler: * Ağaçtan aynaya uzaklık: \(10\) m. * Ali'nin göz hizası (yerden yüksekliği): \(1.6\) m. * Ali'nin aynaya uzaklığı: \(2\) m. * Işığın gelme açısı \(=\) yansıma açısı (Optik kuralı). İstenen: Ağacın boyu. b) Verilenler, istenenler ve işlemler arasındaki ilişkiler: Ayna düzlemi yere paralel ve Ali ile ağaç yere dik konumdadır. Bu durumda Ali'nin gözü ile ayna arasındaki dik üçgen ile ağacın tepesi ile ayna arasındaki dik üçgen oluşur. Işığın gelme açısı ile yansıma açısının eşit olması, bu iki dik üçgenin açısal olarak benzer olmasını sağlar (A-A benzerliği). Bir açısı \(90^\circ\) (Ali/ağaç ve yer) ve diğer açısı (aynaya düşen ışının açısı) eşit olan iki üçgen, üçüncü açıları da eşit olacağından benzerdir. c) Problemin parçaları arasındaki ilişkileri dönüştürme: \(\triangle (Ali'nin göz hizası \text{-} Ali'nin aynaya uzaklığı) \sim \triangle (Ağacın boyu \text{-} Ağacın aynaya uzaklığı)\) benzerliğini kuracağız. ç) Matematiksel temsiller ve açıklama: Ali'nin göz hizası / Ağacın boyu \(=\) Ali'nin aynaya uzaklığı / Ağacın aynaya uzaklığı. Yani, \(\frac{1.6}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{2}{10}\). d) Çözüm için stratejiler oluşturma: 1. Benzerlik ilişkisini kullanarak denklemi kur. 2. Denklemi çözerek ağacın boyunu bul. e) Belirlenen stratejiyi uygulayarak problemi çözme: Ali'nin göz hizası \(= 1.6\) m. Ali'nin aynaya uzaklığı \(= 2\) m. Ağacın aynaya uzaklığı \(= 10\) m. Ağacın boyu \(= x\) olsun. Benzer üçgenlerde kenar oranları eşit olduğundan: \(\frac{\text{Ali'nin göz hizası}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{ ext{Ali'nin aynaya uzaklığı}}{\text{Ağacın aynaya uzaklığı}}\) \(\frac{1.6}{x} = \frac{2}{10}\) Çapraz çarpım yaparak: \(2x = 1.6 \times 10\) \(2x = 16\) \(x = 16 / 2\) \(x = 8\) metre. f) Problemin çözümünü kontrol etme: Eğer ağacın boyu 8 metre ise, oranlar: \(1.6/8 = 0.2\) \(2/10 = 0.2\) Oranlar eşittir. Çözüm doğrudur. g) Çözüm sürecindeki deneyimini gözden geçirme: Bu tür gerçek dünya problemlerinde, fizik prensiplerini (burada ışığın yansıması) geometrik benzerlik kavramlarıyla birleştirmek önemlidir. Dikkatli bir şekil çizimi veya zihinsel canlandırma, benzer üçgenleri doğru bir şekilde tanımlamaya yardımcı olur. ğ) Stratejilerin hangi tür problemlere uygulanabileceğine ilişkin çıkarım: Bu strateji, gölge boyu hesaplama, yüksek nesnelerin boyunu dolaylı yoldan ölçme gibi benzerlik içeren tüm pratik ölçüm problemlerinde uygulanabilir. Özellikle optik ve yansıma ile ilgili problemlerde sıkça kullanılır. h) Ulaştığı çıkarımların geçerliliğini örneklerle değerlendirme: Mısır piramitlerinin yüksekliğinin Thales tarafından gölge boyu ölçülerek bulunması gibi tarihi örnekler, bu benzerlik prensibinin ne kadar güçlü ve yaygın kullanıldığını gösterir. Modern mühendislik ve mimaride de benzer dolaylı ölçüm teknikleri kullanılmaktadır.