9. Sınıf Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerinin ispatı Test 4

Açıklama:
Pisagor Teoremi'nin benzerlik yoluyla ispatı aşağıdaki adımları içerir:
1. Büyük üçgen ile küçük üçgenlerin benzerliklerini belirleme.
\(\triangle ACB \sim \triangle ADC\) (Açı A ortak, \(m(\hat{C}) = m(\hat{D}) = 90^\circ\))
\(\triangle ACB \sim \triangle CDB\) (Açı B ortak, \(m(\hat{C}) = m(\hat{D}) = 90^\circ\))
2. Benzerlik oranlarından eşitlikler yazma.
\(\triangle ACB \sim \triangle ADC \Rightarrow \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{CD} = \frac{AB}{AC}\)
Bu oranlardan \(\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}\) alınırsa \(AC^2 = AB \cdot AD\) elde edilir. (Seçenek A ve B doğrudur.)
\(\triangle ACB \sim \triangle CDB \Rightarrow \frac{AC}{CD} = \frac{BC}{DB} = \frac{AB}{CB}\)
Bu oranlardan \(\frac{AB}{CB} = \frac{CB}{DB}\) alınırsa \(CB^2 = AB \cdot DB\) elde edilir. (Seçenek D doğrudur.)
3. Elde edilen iki eşitliği toplama.
\(AC^2 + CB^2 = (AB \cdot AD) + (AB \cdot DB) = AB \cdot (AD + DB)\)
\(AD + DB = AB\) olduğundan, \(AC^2 + CB^2 = AB \cdot AB = AB^2\) elde edilir. (Seçenek E doğrudur.)

C seçeneğine baktığımızda:
\(\triangle ACB \sim \triangle CDB\) benzerliğinden \(\frac{AC}{CD} = \frac{CB}{DB} = \frac{AB}{AD}\) yazıldığı iddia edilmektedir.
Doğru oran \(\frac{AC}{CD} = \frac{CB}{DB} = \frac{AB}{CB}\) olmalıdır. C seçeneğindeki son oran \(\frac{AB}{AD}\) yanlıştır; \(AB\) büyük üçgenin hipotenüsü, \(AD\) ise küçük üçgen \(\triangle ADC\) 'nin bir kenarıdır ve \(\triangle CDB\) ile ilgili değildir. Yanlış eşleşme nedeniyle C seçeneğindeki ifade yanlıştır.