8. Sınıf: Çarpanları Bulma Kazanım Değerlendirme Testleri

Sayılar dünyasının temel taşlarından biri olan çarpanlar, matematiğin birçok alanında karşımıza çıkar. Bir sayının çarpanlarını bulmak, hem o sayının yapısını anlamak hem de daha karmaşık problemleri çözmek için kritik bir beceridir. Bu konuda, doğal sayıların çarpanlarını (bölenlerini) nasıl bulacağımızı ve asal çarpanlara ayırma yöntemlerini detaylıca inceleyeceğiz. 🌟

8. Sınıf Matematik: Çarpanları Bulma Konu Anlatımı

📌 Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen her doğal sayıya, o sayının çarpanı (veya böleni) denir. Örneğin, 12 sayısını kalansız bölen sayılar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bu sayılar 12'nin çarpanlarıdır.

Her doğal sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı ise kendisidir.

💡 Bir Sayının Çarpanları Nasıl Bulunur?

Adım Adım Çarpan Bulma Yöntemi

1. Sayının 1 ile çarpımından başlayarak, iki sayının çarpımı şeklinde yazılabilen tüm ikilileri bulunur.
2. Bu ikililerdeki her bir sayı, verilen sayının bir çarpanıdır.
3. Tüm ikililer bulunduğunda, sayının tüm çarpanları da bulunmuş olur.

Örnek: 24 sayısının çarpanlarını bulalım:

• $1 \times 24 = 24$
• $2 \times 12 = 24$
• $3 \times 8 = 24$
• $4 \times 6 = 24$

Dolayısıyla 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür.

🚀 Asal Çarpanlar

Bir sayının çarpanları arasında asal sayı olanlara asal çarpan denir. Asal sayılar, 1'den büyük olup 1 ve kendisinden başka tam böleni olmayan sayılardır (örneğin 2, 3, 5, 7, 11...).

Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

• Çarpan Ağacı Yöntemi: Sayı dallara ayrılarak en küçük asal çarpanlarına kadar indirgenir.
• Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi): Sayı, en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla asal sayılara bölünür.

Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

Asal Çarpan Algoritması:

60 | 2
30 | 2
15 | 3
 5 | 5
 1 |

Yani $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$

60'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Sayının Tüm Çarpanları ve Asal Çarpanları Arasındaki Fark

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1:

36 sayısının tüm çarpanlarını ve asal çarpanlarını bulunuz.

Çözüm:

1. Öncelikle 36 sayısının tüm çarpanlarını (bölenlerini) bulalım:
   • $1 \times 36 = 36$
   • $2 \times 18 = 36$
   • $3 \times 12 = 36$
   • $4 \times 9 = 36$
   • $6 \times 6 = 36$
   36'nın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
2. Şimdi bu çarpanlar arasından asal olanları belirleyelim. Asal sayılar 1 ve kendisinden başka böleni olmayan 1'den büyük sayılardır.
   • Çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
   • Asal olanlar: 2 ve 3.
3. Dilerseniz asal çarpanları Asal Çarpan Algoritması ile de bulalım:

   36 | 2
   18 | 2
    9 | 3
    3 | 3
    1 |
           

   $36 = 2^2 \times 3^2$. Bu gösterimden de 36'nın asal çarpanlarının 2 ve 3 olduğu görülür.

✅ 36 sayısının tüm çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Asal çarpanları: 2, 3.

Soru 2:

Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu sayı 100 ile 150 arasında olduğuna göre, bu sayı kaçtır?

Çözüm:

1. Sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise, bu sayı $2^a \times 3^b \times 5^c$ şeklinde bir ifadedir (burada a, b, c pozitif tam sayılardır).
2. En küçük değerden başlayarak olası sayıları bulmaya çalışalım. En basit haliyle $2 \times 3 \times 5 = 30$ olur. Ancak bu 100-150 aralığında değil.
3. Kuvvetleri artırarak denemeler yapalım:
   • $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ (hala küçük)
   • $2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90$ (hala küçük)
   • $2 \times 3 \times 5^2 = 2 \times 3 \times 25 = 150$ (Bu sayı aralığın üst sınırında, ancak içinde sayılır.)
   • $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$ (Bu sayı 100 ile 150 arasındadır ve asal çarpanları 2, 3, 5'tir.)
   • $2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$ (Bu sayı aralığın dışındadır.)
4. Bulduğumuz 120 sayısı, asal çarpanları 2, 3, 5 olan ve 100 ile 150 arasında yer alan tek sayıdır. ($120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$).

✅ Aranan sayı: 120.