Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar.
Bir pozitif tam sayının asal çarpanlarını bulmaya yönelik çalışmalara da yer verilir.
İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplar, ilgili problemleri çözer.
Alan ve hacim hesaplamayı gerektiren problemlere girilmez.
Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirler.
Tam sayıların, tam sayı kuvvetlerini hesaplar.
Üslü ifadelerle ilgili temel kuralları anlar, birbirine denk ifadeler oluşturur.
Sayıların ondalık gösterimlerini 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümler.
Verilen bir sayıyı 10’un farklı tam sayı kuvvetlerini kullanarak ifade eder.
Çok büyük ve çok küçük sayıları bilimsel gösterimle ifade eder ve karşılaştırır.
Bu ünite, doğal sayıların temel yapı taşlarını ve büyük-küçük sayıları pratik bir şekilde ifade etme yöntemlerini kapsar. Sayıların çarpanlara ayrılması, ortak özelliklerinin bulunması ve üslü gösterimler matematiğin birçok alanında temel oluşturur.
Bir doğal sayıyı tam bölen her sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Örneğin, 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Asal sayı, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11...). Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması, o sayının çarpanlarının asal sayılar cinsinden çarpım şeklinde yazılmasıdır (örneğin, 72 = 2³ × 3²).
İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasındaki en büyük sayıya En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. EBOB bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.
İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları arasındaki en küçük pozitif tam sayıya En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. EKOK bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar çarpılır. EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b özelliği önemlidir.
1'den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır. İki ardışık doğal sayı her zaman aralarında asaldır.
Bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpımının kısa gösterimine üslü ifade denir. an ifadesinde 'a' taban, 'n' ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır. Üslü ifadelerde çarpma, bölme, üssün üssü alma, negatif üs ve sıfırıncı kuvvet gibi temel özellikler bulunur. Örneğin, am × an = am+n ve a-n = 1/an. Sıfır dışındaki her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir (a0 = 1).
Çok büyük veya çok küçük sayıların a × 10n şeklinde ifade edilmesidir. Burada 1 ≤ |a| < 10 olmalı ve 'n' bir tam sayı olmalıdır. Örneğin, ışık hızı 300.000.000 m/s yerine 3 × 108 m/s şeklinde bilimsel gösterimle ifade edilebilir.
90 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
Çözüm: 90 sayısını asal çarpan algoritması ile böleriz: 90 | 2 45 | 3 15 | 3 5 | 5 1 | Yani, 90 = 2 × 3² × 5'tir. Asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
24 ve 36 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bulunuz.
Çözüm: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2³ × 3¹ 36 = 2² × 3² EBOB(24, 36): Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanları alırız. 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12. EKOK(24, 36): Tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alırız. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
(5⁴ × 25⁻²) / 5⁻³ işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: Tüm tabanları 5'e dönüştürelim: 25⁻² = (5²)⁻² = 5⁻⁴ (5⁴ × 5⁻⁴) / 5⁻³ = 5⁽⁴⁺⁽⁻⁴⁾⁾ / 5⁻³ = 5⁰ / 5⁻³ = 1 / 5⁻³ = 5³ = 125.
345.000.000 sayısını bilimsel gösterimle ifade ediniz.
Çözüm: Sayıyı 1 ile 10 arasında olacak şekilde virgülü kaydırırız. Sayının sonundaki virgülü 8 basamak sola kaydırdığımızda 3,45 elde ederiz. Sola kaydırma pozitif üs demektir. 345.000.000 = 3,45 × 10⁸.