8. Sınıf: Aralarında Asal Sayılar Kazanım Değerlendirme Testleri

📌 8. Sınıf Matematik'in temel konularından biri olan Aralarında Asal Sayılar, çarpanlara ayırma ve EBOB-EKOK gibi ileri düzey konulara zemin hazırlar. Bu konu anlatımı ve çözümlü sorular ile aralarında asal sayıları kolayca kavrayacak, sınavlara eksiksiz hazırlanacaksın! 💡

8. Sınıf Matematik: Aralarında Asal Sayılar Nedir? 🤔

Tanım: Aralarında Asal Sayılar

İki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni (çarpanı) yoksa, bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Başka bir deyişle, bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB'u) 1'dir. Yani, $EBOB(a, b) = 1$ ise $a$ ve $b$ aralarında asaldır. ✅

Aralarında Asal Sayıların Özellikleri

• 🚀 Her zaman asal sayı olmak zorunda değillerdir. Örneğin, 8 ve 15 sayıları asal değildir ama aralarında asaldır. ($EBOB(8, 15) = 1$)
• 📌 Ardışık sayılar daima aralarında asaldır. Örnek: (7, 8), (12, 13).
• 💡 1 sayısı, her pozitif tam sayı ile aralarında asaldır. Örnek: (1, 5), (1, 120).
• ✅ İki sayıdan en az biri asal ise, diğer sayı onun katı olmadığı sürece aralarında asal olabilirler. Örnek: (7, 10).

Aralarında Asallığı Belirleme Yöntemi

1. Sayıların Çarpanlarını Bulma: Verilen her bir sayının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını (bölenlerini) bulun.
2. Ortak Çarpanları Belirleme: Bulduğunuz çarpanlar arasından ortak olanları işaretleyin.
3. EBOB Kontrolü: Eğer tek ortak çarpan 1 ise, sayılar aralarında asaldır.

Örnekler: Aralarında Asal Sayılar Tablosu

✍️ Çözümlü Örnek Sorular 🚀

Soru 1:

2A iki basamaklı bir sayı ve $EBOB(2A, 15) = 1$ olduğuna göre, A yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?

1. Anlama: $EBOB(2A, 15) = 1$ demek, 2A sayısı ile 15 sayısının aralarında asal olduğu anlamına gelir. 15 sayısının çarpanları 3 ve 5'tir. Bu durumda, 2A sayısı ne 3'e ne de 5'e tam bölünmemelidir.
2. 5 ile Bölünme Kontrolü: Bir sayının 5'e bölünmemesi için birler basamağı (A) 0 veya 5 olmamalıdır. Yani $A \neq 0$ ve $A \neq 5$.
3. 3 ile Bölünme Kontrolü: Bir sayının 3'e bölünmemesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmamalıdır. 2A sayısının rakamları toplamı $2+A$'dır. Bu toplam 3'ün katı olmamalıdır.
4. A değerlerini deneme: A bir rakam olduğundan, 0'dan 9'a kadar tüm rakamları kontrol edelim:
   • $A=0 \implies 20$: 5'e bölünür. (Elimine)
   • $A=1 \implies 21$: 3'e bölünür ($2+1=3$). (Elimine)
   • $A=2 \implies 22$: 3'e veya 5'e bölünmez. (Uygun)
   • $A=3 \implies 23$: 3'e veya 5'e bölünmez. (Uygun)
   • $A=4 \implies 24$: 3'e bölünür ($2+4=6$). (Elimine)
   • $A=5 \implies 25$: 5'e bölünür. (Elimine)
   • $A=6 \implies 26$: 3'e veya 5'e bölünmez. (Uygun)
   • $A=7 \implies 27$: 3'e bölünür ($2+7=9$). (Elimine)
   • $A=8 \implies 28$: 3'e veya 5'e bölünmez. (Uygun)
   • $A=9 \implies 29$: 3'e veya 5'e bölünmez. (Uygun)
5. Sonuç: A yerine yazılabilecek rakamlar 2, 3, 6, 8, 9'dur. Toplamları $2+3+6+8+9 = 28$'dir.

Soru 2:

$(x-3)$ ile $(y+2)$ aralarında asal sayılardır. $\frac{x-3}{y+2} = \frac{24}{40}$ olduğuna göre $x+y$ toplamı kaçtır?

1. Anlama: $(x-3)$ ve $(y+2)$ aralarında asal olduğu belirtilmiş. Verilen kesir $\frac{x-3}{y+2} = \frac{24}{40}$ ise, bu kesri en sade haline getirmeliyiz.
2. Kesri Sadeleştirme: 24 ve 40 sayılarının EBOB'unu bulalım.
   • $24 = 2^3 \cdot 3$
   • $40 = 2^3 \cdot 5$
   • $EBOB(24, 40) = 2^3 = 8$.
   Kesri 8 ile sadeleştirirsek: $\frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5}$.
3. Eşitleme: Şimdi $\frac{x-3}{y+2} = \frac{3}{5}$ oldu. $(x-3)$ ve $(y+2)$ aralarında asal olduğundan ve 3 ile 5 de aralarında asal olduğundan, direkt eşitleme yapabiliriz.
   • $x-3 = 3 \implies x = 6$
   • $y+2 = 5 \implies y = 3$
4. Sonuç: $x+y$ toplamı $6+3 = 9$'dur.