8. Sınıf: Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma Kazanım Değerlendirme Testleri

🚀 8. Sınıf Matematik'in en temel konularından biri olan kareköklü ifadelerde Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma işlemlerini detaylıca öğreniyoruz! 📌 Bu konuyu tam anlamıyla kavramak, ilerleyen cebir konuları için sağlam bir temel oluşturacaktır. Hazırsan, kareköklü ifadeleri sadeleştirmenin ve genişletmenin inceliklerine dalalım! 💡

Kök Dışına Çıkarma (Sadeleştirme)

📌 Tanım ve Prensip

Kök dışına çıkarma işlemi, karekök içindeki bir sayının çarpanlarından tam kare olanları kök dışına alarak ifadeyi sadeleştirmektir. Amaç, kök içindeki sayıyı olabilecek en küçük tam sayı yapmak ve böylece daha basit bir ifade elde etmektir.

💡 Adımlar

• Kök içindeki sayı asal çarpanlarına ayrılır.
• Aynı asal çarpanlardan iki tanesi bir çift oluşturur ve kök dışına tek bir çarpan olarak çıkar.
• Kök içinde kalan (eşleşemeyen) çarpanlar birbiriyle çarpılarak kök içinde kalır.

✅ Örnekler

• $\sqrt{12}$: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Bir tane $2^2$ dışarı $2$ olarak çıkar. Kök içinde $3$ kalır. Sonuç: $2\sqrt{3}$.
• $\sqrt{50}$: $50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$. Bir tane $5^2$ dışarı $5$ olarak çıkar. Kök içinde $2$ kalır. Sonuç: $5\sqrt{2}$.

Unutmayın! Kök dışına çıkarılan sayı ile kök içinde kalan sayı çarpım durumundadır ve kök içindeki sayı daima pozitif olmalıdır.

Kök İçine Alma (Genişletme)

📌 Tanım ve Prensip

Kök içine alma işlemi, kök dışındaki pozitif bir sayıyı (katsayıyı) kök içine, sayının karesini alarak dahil etmektir. Bu işlem, genellikle kareköklü ifadeler arasında toplama, çıkarma veya sıralama yaparken ifadelerin kök içlerinin eşitlenmesi gerektiğinde kullanılır.

💡 Adımlar

• Kök dışındaki sayı belirlenir.
• Bu sayının karesi alınır.
• Elde edilen kare, kök içindeki sayı ile çarpılarak tek bir karekök içine yazılır.

✅ Örnekler

• $3\sqrt{2}$: $3$ sayısının karesi $3^2 = 9$'dur. Kök içine $9$ olarak girer. $\sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
• $5\sqrt{3}$: $5$ sayısının karesi $5^2 = 25$'tir. Kök içine $25$ olarak girer. $\sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.

Dikkat! Kök dışındaki negatif bir sayı kök içine alınmaz. Negatif işaret kökün dışında kalır. Örneğin, $-2\sqrt{3} = -( \sqrt{4 \cdot 3}) = -\sqrt{12}$.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1: Kök Dışına Çıkarma

Aşağıdaki kareköklü ifadeleri en sade şeklinde yazınız:

a) $\sqrt{72}$

b) $\sqrt{128}$

💡 Çözüm 1

1. a) $\sqrt{72}$
   • $72$ sayısının çarpanlarını veya asal çarpanlarını düşünelim. En büyük tam kare çarpanı $36$'dır. ($72 = 36 \cdot 2$)
   • $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2}$
   • $36$ kök dışına $6$ olarak çıkar.
   • Sonuç: $\mathbf{6\sqrt{2}}$.
2. b) $\sqrt{128}$
   • $128$ sayısının çarpanlarını düşünelim. En büyük tam kare çarpanı $64$'tür. ($128 = 64 \cdot 2$)
   • $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2}$
   • $64$ kök dışına $8$ olarak çıkar.
   • Sonuç: $\mathbf{8\sqrt{2}}$.

Soru 2: Kök İçine Alma ve Sıralama

Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

$A = 4\sqrt{5}$

$B = 7$

$C = 3\sqrt{6}$

💡 Çözüm 2

Sayıları karşılaştırabilmek için hepsini karekök içine almalıyız:

1. $A = 4\sqrt{5}$ için kök içine alma:
   • $4$ sayısının karesi $4^2 = 16$.
   • $\sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.
2. $B = 7$ için kök içine alma:
   • $7$ sayısının karesi $7^2 = 49$.
   • $\sqrt{49}$.
3. $C = 3\sqrt{6}$ için kök içine alma:
   • $3$ sayısının karesi $3^2 = 9$.
   • $\sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$.
4. Sayıların karşılaştırılması:
   • Şimdi elimizdeki sayılar: $A = \sqrt{80}$, $B = \sqrt{49}$, $C = \sqrt{54}$.
   • Kök içindeki değerlere göre küçükten büyüğe sıralarız: $49 < 54 < 80$.
   • Dolayısıyla sıralama: $\sqrt{49} < \sqrt{54} < \sqrt{80}$.

✅ Sonuç: Küçükten büyüğe sıralama $\mathbf{B < C < A}$'dır.