10. Sınıf Denklem ve Eşitsizlik Problemleri Test 1

Açıklama:
Öncelikle toplam geliri (R(x)) bulalım: R(x) \(=\) x * P(x) \(=\) x * (120 - x/2) \(= 120\) x - x²/2 Şimdi kâr fonksiyonunu (K(x)) bulalım: K(x) \(=\) R(x) - C(x) K(x) \(=\) (120x - x²/2) - (20x + 1000) K(x) \(= 120\) x - x²/2 - 20x - 1000 K(x) \(= -\) x²/2 + 100x - 1000 Firmanın kâr elde etmesi için K(x) > 0 olmalıdır: -x²/2 + 100x - 1000 > 0 Eşitsizliği daha kolay çözmek için her tarafı -2 ile çarpalım. Eşitsizliği negatif bir sayı ile çarptığımızda yön değiştirdiğini unutmayalım: x² - 200x + 2000 < 0 Bu ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için öncelikle köklerini bulalım: x² - 200x \(+ 2000 = 0\) Diskriminant (Δ) \(=\) b² - 4ac \(=\) (-200)² \(- 4 * 1 * 2000 = 40000 - 8000 = 32000\) Kökler x \(=\) (-b ± √Δ) / 2a formülüyle bulunur: x \(=\) (200 ± √32000) / 2 √ \(32000 =\) √(1600 * 20) \(= 40\) √ \(20 = 40 * 2\) √ \(5 = 80\) √5 x \(=\) (200 ± 80√5) \(/ 2 = 100\) ± 40√5 √5'in yaklaşık değeri 2.236'dır: x1 ≈ 100 - 40 * 2. \(236 = 100 - 89\). \(44 = 10\).56 x2 ≈ 100 + 40 * 2. \(236 = 100 + 89\). \(44 = 189\).44 x² - 200x + 2000 < 0 eşitsizliği, kökler arasında (parabolün kolları yukarı olduğu için) negatif değerler alır. Dolayısıyla, 10.56 < x < 189.44 olmalıdır. Ürün adedi (x) tam sayı olmak zorunda olduğundan, kâr elde etmek için en az 11 adet ve en fazla 189 adet ürün üretip satılmalıdır.