O merkezli bir çemberde, AB bir kiriştir. \(m(\widehat{AOB}) = 60^\circ\) ve çemberin yarıçapı 8 cm'dir. Bu kirişin merkeze olan uzaklığı kaç cm'dir?
A) \(4\sqrt{3}\)
B) 4
C) \(4\sqrt{2}\)
D) 6
E) 8
Açıklama:O merkezli çemberde, OA ve OB yarıçap olduğundan OA \(=\) OB \(= 8\) cm'dir. \(m(\widehat{AOB}) = 60^\circ\) verildiği için, OAB üçgeni ikizkenar üçgendir ve tepe açısı 60 derecedir. Bu durumda, taban açıları da \((180 - 60) / 2 = 60\) derece olur. Yani OAB üçgeni eşkenar üçgendir.
Bu durumda, kiriş AB'nin uzunluğu da 8 cm'dir.
Kirişin merkeze olan uzaklığını bulmak için, O noktasından AB kirişine bir dikme (OH) indirelim. Bu dikme, eşkenar üçgenin yüksekliği olacaktır ve kirişi iki eşit parçaya bölecektir.
OH yüksekliği aynı zamanda OAB eşkenar üçgeninin yüksekliğidir. Eşkenar üçgenin yüksekliği formülü \(h = a\frac{\sqrt{3}}{2}\) şeklindedir, burada a kenar uzunluğudur.
Burada \(a = OA = 8\) cm'dir. O halde, \(OH = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) cm'dir.
Alternatif olarak, OHA dik üçgeninde \(OA = 8\) ve \(AH = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\) cm'dir. Pisagor teoremi ile:
\(OH^2 + AH^2 = OA^2\)
\(OH^2 + 4^2 = 8^2\)
\(OH^2 + 16 = 64\)
\(OH^2 = 48\)
\(OH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\) cm'dir.