Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, \(m\) tam sayısı en az kaçtır?
\(x^2 - (m+1)x + m > 0\)
\(x^2 - 3x + 2 \le 0\)
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Açıklama:
1. Eşitsizlik: \(x^2 - 3x + 2 \le 0\)
Çarpanlara ayıralım: \((x-1)(x-2) \le 0\).
Bu eşitsizliğin kökleri \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 2\) 'dir. Başkatsayı pozitif ve eşitsizlik 'küçük eşit' olduğu için, kökler arasındaki değerler için ifade negatif olur ve kökler dahildir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi: \([1, 2]\).
2. Eşitsizlik: \(x^2 - (m+1)x + m > 0\)
Bu ifadeyi çarpanlara ayıralım: \(x^2 - mx - x + m > 0 \implies x(x-m) - 1(x-m) > 0 \implies (x-m)(x-1) > 0\).
Bu eşitsizliğin kökleri \(x_1 = m\) ve \(x_2 = 1\) 'dir.
Baş katsayı pozitif olduğu için, köklerin dışındaki bölgelerde ifade pozitif olur. Ancak \(m\) ve \(1\) arasındaki ilişkiye göre çözüm kümesi değişir:
a) Eğer \(m < 1\) ise, çözüm kümesi \((-∞, m) \cup (1, ∞)\).
b) Eğer \(m = 1\) ise, \((x-1)^2 > 0\) olur ve çözüm kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
c) Eğer \(m > 1\) ise, çözüm kümesi \((-∞, 1) \cup (m, ∞)\).
3. Sistemin çözüm kümesinin boş küme olması gerekiyor: \([1, 2] \cap \text{İkinci_Eşitsizliğin_Çözümü} = \emptyset\).
Durum a) \(m < 1\) olduğunda, ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi \((-∞, m) \cup (1, ∞)\).
Kesişim: \([1, 2] \cap ((-∞, m) \cup (1, ∞))\).
\([1, 2]\) ile \((-∞, m)\) kesişmez çünkü \(m<1\). \([1, 2]\) ile \((1, ∞)\) kümesinin kesişimi ise \((1, 2]\) aralığıdır. Bu boş küme değildir.
Durum b) \(m = 1\) olduğunda, ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Kesişim: \([1, 2] \cap (\mathbb{R} \setminus \{1\})\).
Bu durumda \(x=1\) hariç \([1, 2]\) aralığı elde edilir, yani \((1, 2]\). Bu da boş küme değildir.
Durum c) \(m > 1\) olduğunda, ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi \((-∞, 1) \cup (m, ∞)\).
Kesişim: \([1, 2] \cap ((-∞, 1) \cup (m, ∞))\).
- \([1, 2] \cap (-∞, 1)\): Bu kesişim \(x=1\) noktasını içerir. Ancak \((x-m)(x-1) > 0\) eşitsizliğinde \(x=1\) bir kök olduğu için \(x=1\) bu çözüm kümesine dahil değildir. Dolayısıyla, bu kesişim boş kümedir.
- Geriye kalan kesişim: \([1, 2] \cap (m, ∞)\).
Sistemin çözüm kümesinin boş küme olması için, bu kesişimin boş küme olması gerekir. Bunun olması için \([1, 2]\) aralığı ile \((m, ∞)\) aralığı kesişmemelidir.
Yani \(m\) sayısının 2'den büyük veya eşit olması gerekir ki \((m, ∞)\) aralığı \([1, 2]\) ile hiçbir ortak eleman içermesin. (\(m > 2\) veya \(m = 2\) durumunda \((2, ∞)\) aralığı \([1,2]\) ile kesişmez.)
Yani \(m \ge 2\) olmalıdır.
\(m\) bir tam sayı olduğuna göre, \(m \ge 2\) şartını sağlayan en küçük tam sayı \(m=2\) 'dir.
Kontrol edelim: Eğer \(m=2\) ise,
Birinci eşitsizlik: \((x-1)(x-2) \le 0 \implies [1, 2]\).
İkinci eşitsizlik: \((x-2)(x-1) > 0 \implies (-∞, 1) \cup (2, ∞)\).
Bu iki çözüm kümesinin kesişimi: \([1, 2] \cap ((-∞, 1) \cup (2, ∞)) = \emptyset\). Gerçekten boş kümedir.