11. Sınıf İkinci Dereceden Denklem Sistemleri Test 4

Açıklama:
Bir çember ile bir parabolün kesişim noktalarının sayısı, bu iki grafiğin birbirine göre konumuna bağlıdır. Çember ve parabol 0, 1, 2, 3 veya 4 noktada kesişebilir. Örneğin: - 0 kesişim: Parabol çemberin tamamen dışında kalabilir. - 1 kesişim: Parabol çembere tek bir noktada teğet olabilir. - 2 kesişim: Parabol çemberi iki noktada kesebilir veya iki noktada teğet olabilir (farklı durumlar). - 3 kesişim: Parabol çembere bir noktada teğet olup, iki farklı noktada daha kesebilir. - 4 kesişim: Parabol çemberi dört farklı noktada kesebilir. Örneğin, \(x^2 + y^2 = 10\) çemberi ile \(y = x^2 - 5\) parabolünün kesişim noktaları 4 adettir. \(x^2 = y+5\) yerine koyarsak \(y+5+y^2=10 \implies y^2+y-5=0\). Diskriminant \(1 - 4(1)(-5) = 21 > 0\) olduğundan iki farklı \(y\) değeri bulunur: \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\) ve \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}\). Her iki \(y\) değeri için de \(x^2 = y+5\) ifadesi pozitif bir değer verir (örneğin \(y_1+5 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} + 5 = \frac{9 + \sqrt{21}}{2} > 0\) ve \(y_2+5 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} + 5 = \frac{9 - \sqrt{21}}{2} > 0\) çünkü \(9 > \sqrt{21}\)). Bu da her bir \(y\) değeri için iki farklı \(x\) değeri (\(\pm\sqrt{...}\)) anlamına gelir. Dolayısıyla toplamda 4 farklı kesişim noktası elde edilir. Bu nedenle, bir çember ile bir parabolün en fazla 4 farklı gerçek çözüm noktası olabilir.