9. Sınıf Eşlik ve benzerlik problemleri Test 1

Açıklama:
Problemin verilenleri, bir \(ABCD\) yamuğunda \([AB] \parallel [DC]\) olduğu, paralel kenarların uzunlukları (\(|AB|=10\) cm, \(|DC|=6\) cm) ve köşegenlerin kesim noktasının \(E\) olduğudur. İstenen, \(\triangle ABE\) ve \(\triangle CDE\) arasındaki benzerlik oranıdır.

Strateji: Yamukta paralel doğruların kesenlerle yaptığı açılar ve ters açılar kullanılarak \(\triangle ABE\) ile \(\triangle CDE\) üçgenleri arasında benzerlik kurulur (A.A. benzerliği). Ardından, karşılıklı kenarların oranından benzerlik oranı bulunur.

Çözüm Adımları:
1. Benzer Üçgenleri Belirleme:
* \([AB] \parallel [DC]\) olduğundan, iç ters açılar eşittir:
* \(\angle BAE = \angle DCE\) (köşegen \(AC\) kesen görevi görür)
* \(\angle ABE = \angle CDE\) (köşegen \(BD\) kesen görevi görür)
* \(E\) noktasında oluşan ters açılar da eşittir:
* \(\angle AEB = \angle CED\)
* Üçgenlerin ikişer açısı eşit olduğundan (hatta üçü de eşit), \(\triangle ABE\) ve \(\triangle CDE\) üçgenleri Açı-Açı (A.A.) benzerlik kuralına göre benzerdir: \(\triangle ABE \sim \triangle CDE\).
2. Benzerlik Oranını Bulma: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranını verir. Burada \(AB\) kenarı \(DC\) kenarına karşılık gelir çünkü ikisi de paraleldir ve aralarındaki açılar eşittir.
Benzerlik oranı \(k = \frac{|AB|}{|DC|}\) olarak belirlenir (Çünkü soruda \(\triangle ABE\) 'nin \(\triangle CDE\) 'ye oranı istenmiştir, bu da büyükten küçüğe oranı ifade eder).
\(k = \frac{10}{6}\)
\(k = \frac{5}{3}\)

Kontrol: Açıların doğru şekilde eşleştirildiği ve karşılıklı kenarların oranının doğru alındığı kontrol edilmiştir. Benzerlik oranı \(\frac{5}{3}\) olarak bulunmuştur. Bu problem, yamuk gibi özel dörtgenlerin özelliklerini ve A.A. benzerlik kuralını kullanarak benzer üçgenleri belirleme ve oranları uygulama becerisini ölçer.